Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
x^2 d yd x-2 x y=x^3+5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2dydx-2xy = x^3+5
e pede a solução geral y(x). Como aparece dydx e y num arranjo linear, vamos reconhecer isso como uma EDO linear e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos na forma padrão dividindo tudo por x^2 (supondo xneq0):
dydx-2xy = x + 5x^2
Aqui identificamos
P(x) = -2x, Q(x) = x + 5x^2

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-2integral dxxr) = expl(-2ln|x|r) = x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-2, obtendo
x^-2dydx ;-;2x^-3y ;=; x^-1 + 5x^-4
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,x^-2, ou seja,
ddxl(y,x^-2r) = x^-1 + 5x^-4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,x^-2 = integrall(x^-1 + 5x^-4r)dx + C = ln|x| - 53x^3 + C

Passo 6

Basta multiplicar por x^2 para isolar y:
y(x) = x^2ln|x| - 53x + C,x^2

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = C,x^2 + x^2ln|x| - 53x,
com C constante arbitrária.

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