Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}.

Passo 1

Enunciado dado: a equação
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}.
O que é pedido: classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Dados relevantes: a incógnita é y função de x; aparece a derivada segunda de y e o termo do lado direito é e^{x}.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui (explicação didática): chamamos de equação diferencial ordinária (EDO) uma equação em que a função desconhecida depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias em relação a essa variável. Em contraste, uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. Exemplo rápido: y'(x)=\sin x é EDO; \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial t}=0 é EDP. Aplicando à equação dada: só aparece derivada em relação a x, portanto é uma EDO.

Passo 3

O que significa “ordem” (explicação didática): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivações que aparece na equação — ou seja, o maior índice de derivada presente. Exemplos: se a maior derivada é y' a ordem é 1; se aparece y'' a ordem é 2. Na equação dada a maior derivada é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, logo a ordem é 2.

Passo 4

O que significa “linearidade” (explicação didática): uma EDO é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas da variável independente (ou constantes) e somadas — nunca aparecem produtos não-lineares entre y e suas derivadas, nem funções não-lineares de y (como (y')^2, y^2, \sin y, etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
a_2(x)\,y'' + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde a_2,a_1,a_0,g são funções conhecidas de x. Se g(x)\equiv 0 chamamos homogênea; caso contrário, não-homogênea. Exemplo de não-linear: y'' + (y')^2 = 0 (porque (y')^2 não é linear em y').
Aplicando a definição de linearidade à equação dada: podemos reescrevê-la como
1\cdot y'' + 0\cdot y' + 0\cdot y = e^{x}.
Aqui a_2(x)=1, a_1(x)=0, a_0(x)=0 e g(x)=e^{x}. Não há produtos ou funções não-lineares envolvendo y ou suas derivadas, logo a equação é linear. Como g(x)=e^{x} não é identicamente zero, a equação é não-homogênea. Observação adicional útil para a prova: os coeficientes a_2,a_1,a_0 são constantes ( 1,0,0), então é uma EDO linear de coeficientes constantes.

Passo 5

Resumo pedagógico rápido (para decorar): olhar primeiro se só há derivadas em uma variável (EDO vs EDP); olhar a maior derivada presente (ordem); verificar se y e suas derivadas aparecem só multiplicadas por funções de x e somadas (linearidade). Para esta equação: EDO, ordem 2, linear e não-homogênea, coeficientes constantes.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 2.
Linearidade: linear, não-homogênea (coeficientes constantes: 1,0,0).

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