Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
Enunciado dado: a equação
.
O que é pedido: classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Dados relevantes: a incógnita é função de
; aparece a derivada segunda de
e o termo do lado direito é
.
O que é pedido: classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Dados relevantes: a incógnita é
Passo 2
O que significa “tipo” aqui (explicação didática): chamamos de equação diferencial ordinária (EDO) uma equação em que a função desconhecida depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias em relação a essa variável. Em contraste, uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes. Exemplo rápido:
é EDO;
é EDP. Aplicando à equação dada: só aparece derivada em relação a
, portanto é uma EDO.
Passo 3
O que significa “ordem” (explicação didática): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivações que aparece na equação — ou seja, o maior índice de derivada presente. Exemplos: se a maior derivada é
a ordem é
; se aparece
a ordem é
. Na equação dada a maior derivada é
, logo a ordem é
.
Passo 4
O que significa “linearidade” (explicação didática): uma EDO é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas da variável independente (ou constantes) e somadas — nunca aparecem produtos não-lineares entre
e suas derivadas, nem funções não-lineares de
(como
,
,
, etc.). A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é
onde
são funções conhecidas de
. Se
chamamos homogênea; caso contrário, não-homogênea. Exemplo de não-linear:
(porque
não é linear em
).
Aplicando a definição de linearidade à equação dada: podemos reescrevê-la como
Aplicando a definição de linearidade à equação dada: podemos reescrevê-la como
Aqui
,
,
e
. Não há produtos ou funções não-lineares envolvendo
ou suas derivadas, logo a equação é linear. Como
não é identicamente zero, a equação é não-homogênea. Observação adicional útil para a prova: os coeficientes
são constantes (
), então é uma EDO linear de coeficientes constantes.
Passo 5
Resumo pedagógico rápido (para decorar): olhar primeiro se só há derivadas em uma variável (EDO vs EDP); olhar a maior derivada presente (ordem); verificar se
e suas derivadas aparecem só multiplicadas por funções de
e somadas (linearidade). Para esta equação: EDO, ordem
, linear e não-homogênea, coeficientes constantes.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: linear, não-homogênea (coeficientes constantes: ).
Ordem:
Linearidade: linear, não-homogênea (coeficientes constantes: