Resolva os problemas de valor inicial dados:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
e a condição inicial
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dadas.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial numa forma que possamos integrar diretamente. Note que a derivada
aparece multiplicada por uma função de
no denominador; podemos tentar separar as variáveis
e
. Separando os termos que dependem de
dos que dependem de
obtemos
Explicando: “separável” significa que conseguimos escrever a diferencial como um produto de uma função só de
vezes
igual a uma função só de
vezes
. Aí podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo:
porque a antiderivada de
é
.
No lado direito temos que calcular
Para integrar isso usamos a substituição
(ou seja,
). Então
e
Substituindo,
Passo 4
Precisamos calcular
. Usamos integração por partes: tome
e
. Então
e
. A fórmula da integração por partes é
Aplicando:
Multiplicando por
(lembrando que tínhamos
):
Voltando para
com
, obtemos a antiderivada do lado direito:
Passo 5
Igualando as duas antiderivadas (lado esquerdo e direito) e agrupando constantes, temos
onde
é uma constante geral (combinação de
e
). Para simplificar, multiplicamos por
:
com
.
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
:
Como
, isso fica
Logo
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão para
,
Para obter
explicitamente, tomamos raiz quadrada. Há duas possibilidades de sinal, mas usamos a condição inicial para escolher a correta. Como
e a solução obtida é contínua perto de
, escolhemos o ramo positivo:
Essa é a solução que satisfaz a condição inicial.