Resolva os problemas de valor inicial dados:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y}; y(4)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{y},
e a condição inicial
y(4)=1.
A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dadas.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial numa forma que possamos integrar diretamente. Note que a derivada \dfrac{d y}{d x} aparece multiplicada por uma função de y no denominador; podemos tentar separar as variáveis y e x. Separando os termos que dependem de y dos que dependem de x obtemos
y\,dy = e^{\sqrt{x}}\,dx.
Explicando: “separável” significa que conseguimos escrever a diferencial como um produto de uma função só de y vezes dy igual a uma função só de x vezes dx. Aí podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}+C_{1},
porque a antiderivada de y é \tfrac{y^{2}}{2}.
No lado direito temos que calcular
\int e^{\sqrt{x}}\,dx.
Para integrar isso usamos a substituição \;u=\sqrt{x}\; (ou seja, u=x^{1/2}). Então x=u^{2} e
dx = 2u\,du.
Substituindo,
\int e^{\sqrt{x}}\,dx = \int e^{u}\cdot 2u\,du = 2\int u e^{u}\,du.

Passo 4

Precisamos calcular \displaystyle\int u e^{u}\,du. Usamos integração por partes: tome \;U=u\; e \;dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. A fórmula da integração por partes é
\int U\,dV = UV - \int V\,dU.
Aplicando:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u}+C.
Multiplicando por 2 (lembrando que tínhamos 2\int u e^{u}du):
2\int u e^{u}\,du = 2(u-1)e^{u} + C_{2}.
Voltando para x com u=\sqrt{x}, obtemos a antiderivada do lado direito:
\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas antiderivadas (lado esquerdo e direito) e agrupando constantes, temos
\frac{y^{2}}{2} = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C,
onde C é uma constante geral (combinação de C_{1} e C_{2}). Para simplificar, multiplicamos por 2:
y^{2} = 4(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C',
com C'=2C.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(4)=1 para determinar a constante C'. Substituindo x=4 e y=1:
1^{2} = 4(\sqrt{4}-1)e^{\sqrt{4}} + C'.
Como \sqrt{4}=2, isso fica
1 = 4(2-1)e^{2} + C' = 4e^{2} + C'.
Logo
C' = 1 - 4e^{2}.

Passo 7

Substituindo C' de volta na expressão para y^{2},
y^{2} = 4(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + 1 - 4e^{2}.
Para obter y explicitamente, tomamos raiz quadrada. Há duas possibilidades de sinal, mas usamos a condição inicial para escolher a correta. Como y(4)=1>0 e a solução obtida é contínua perto de x=4, escolhemos o ramo positivo:
y(x)=\sqrt{\,4(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + 1 - 4e^{2}\,}.
Essa é a solução que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,4(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + 1 - 4e^{2}\,}

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