Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (expresse o grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
u(t)=1-t+2 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
u(t)=1-t+2t^{2}
e pede que a classifiquemos em uma das categorias: função potência, função raiz, função polinomial (diga o grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Lista das informações relevantes: os termos da função são 1, -t e 2t^{2}; os expoentes de t aparecem como 0, 1 e 2.

Passo 2

Definição e reconhecimento de função polinomial.
Uma função é polinomial quando pode ser escrita como soma finita de monômios com coeficientes constantes e expoentes inteiros não-negativos, isto é,
p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots + a_n t^n,
onde cada a_k é um número real (ou complexo) e n é um inteiro não-negativo. O grau do polinômio é o maior n tal que a_n\neq0.
No nosso caso temos exatamente essa forma: os coeficientes são a_0=1, a_1=-1, a_2=2 e não há termos com expoente maior que 2. Portanto u(t) é uma função polinomial.

Passo 3

Determinar o grau.
O maior expoente de t com coeficiente não nulo em u(t) é 2 (do termo 2t^{2}). Assim o grau do polinômio é 2. Uma função polinomial de grau 2 é chamada de quadrática.

Passo 4

Por que não é outra categoria (explicação prática para a prova).
  • Função potência: normalmente refere-se a uma única potência do tipo a\,t^{k} (um único monômio). Aqui há soma de monômios, logo não é uma função potência no sentido puro.
  • Função raiz: envolve expoentes racionais fracionários ou radicais (por exemplo t^{1/2}); nossos expoentes são inteiros não-negativos, então não é do tipo raiz.
  • Função racional: é quociente de dois polinômios. Embora todo polinômio possa ser visto como um racional com denominador 1 (ou seja, polinômios são casos especiais de racionais), na classificação padrão escolhe-se a categoria mais específica aplicável — aqui “polinomial”.
  • Função algébrica: inclui funções obtidas por somas, produtos e radicais de polinômios; polinômios são algébricas, mas novamente a classificação mais específica é “polinomial”.
  • Função trigonométrica, exponencial ou logarítmica: não têm a forma apresentada (não aparecem senos/cossenos, nem a^{t}, nem \log t), então u(t) não pertence a essas classes.

Passo 5

Resumo didático curto (como fazer na prova).
Regra prática para classificar rapidamente na prova:
  1. Se a expressão é soma finita de termos a_k t^k com k inteiros não-negativos → é polinomial; grau = maior k.
  2. Se for só um termo a t^{k} (um monômio) e k qualquer número real → chama-se função potência (às vezes).
  3. Se tiver radicais/fracionários nos expoentes → raiz/algébrica; se tiver divisão de polinômios → racional; se tiver \sin,\cos → trigonométrica; se tiver a^{t} → exponencial; se tiver \log → logarítmica.
    Aplicando isso em u(t)=1-t+2t^{2} dá polinomial e grau 2.

Resposta

Função polinomial de grau 2 (quadrática).

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