Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = e^{-x^{2}-y^{2}+2x}.
Isto envolve dois conteúdos principais:
  1. Cálculo de derivadas parciais para achar \nabla f=0.
  2. Uso da matriz Hessiana para determinar se o ponto crítico é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=e^{g(x,y)} com g(x,y)=-x^2-y^2+2x, vale a regra da cadeia:
f_x = g_x\,e^{g(x,y)}, \quad f_y = g_y\,e^{g(x,y)}.
Agora
g_x = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2 - y^2 + 2x) = -2x + 2, \quad g_y = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2 - y^2 + 2x) = -2y.
Logo
f_x = (2-2x)\,e^{-x^2-y^2+2x}, \quad f_y = (-2y)\,e^{-x^2-y^2+2x}.
Para pontos críticos, impomos
f_x = 0 \quad\text{e}\quad f_y = 0.
Como e^{-x^2-y^2+2x}>0 sempre, precisamos de
2-2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1,
-2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Há, portanto, um único ponto crítico: (1,0).

Passo 3

Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a Hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((2-2x)e^{g}\bigr), \quad f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((-2y)e^{g}\bigr), \quad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((2-2x)e^{g}\bigr).
Desenvolvendo, usando novamente a regra da cadeia:
f_{xx} = -2e^{g} + (2-2x)^2 e^{g}, \quad f_{yy} = -2e^{g} + ( -2y)^2 e^{g}, \quad f_{xy} = (2-2x)(-2y)\,e^{g}.

Passo 4

Avaliamos essas derivadas em (1,0). Neste ponto g(1,0) = -1 - 0 + 2 = 1, logo e^{g(1,0)} = e. Assim
f_{xx}(1,0) = -2e + 0 = -2e, \quad f_{yy}(1,0) = -2e + 0 = -2e, \quad f_{xy}(1,0) = 0.
O discriminante da Hessiana é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2e)\,(-2e) - 0 = 4e^2 > 0.
Como D>0 e f_{xx}(1,0) = -2e < 0, a Hessiana é negativa definida naquele ponto, indicando um máximo local.

Passo 5

Adicionalmente, como f(x,y)>0 e tende a zero quando \|(x,y)\|\to\infty, esse máximo local em (1,0) é também máximo global.

Resposta

O único ponto crítico é (1,0), e ele é ponto de máximo da função.

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