Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
Isto envolve dois conteúdos principais:
- Cálculo de derivadas parciais para achar
. - Uso da matriz Hessiana para determinar se o ponto crítico é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como
com
, vale a regra da cadeia:
Agora
Logo
Para pontos críticos, impomos
Como
sempre, precisamos de
Há, portanto, um único ponto crítico:
.
Passo 3
Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a Hessiana:
Desenvolvendo, usando novamente a regra da cadeia:
Passo 4
Avaliamos essas derivadas em
. Neste ponto
, logo
. Assim
O discriminante da Hessiana é
Como
e
, a Hessiana é negativa definida naquele ponto, indicando um máximo local.
Passo 5
Adicionalmente, como
e tende a zero quando
, esse máximo local em
é também máximo global.
Resposta
O único ponto crítico é
, e ele é ponto de máximo da função.