Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=-2 x-y+\ln x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = -2x - y + \ln(xy)
no domínio natural de f, que é dado por x>0 e y>0. Vamos usar que um ponto crítico satisfaz \nabla f=0 e, depois, classificá-lo pelo teste de segunda derivada (Hessiana).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2 + \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad -2 + \frac{1}{x}=0 \;\Longrightarrow\; x=\tfrac12,
\frac{\partial f}{\partial y} = -1 + \frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad -1 + \frac{1}{y}=0 \;\Longrightarrow\; y=1.
Logo, há um único ponto crítico em \bigl(\tfrac12,1\bigr).

Passo 3

Para classificar, achamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{1}{y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0.
No ponto \bigl(\tfrac12,1\bigr) temos
f_{xx} = -\frac{1}{(1/2)^2} = -4, \quad f_{yy} = -\frac{1}{1^2} = -1, \quad f_{xy} = 0.
O determinante da Hessiana vale
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-4)\cdot(-1) - 0 = 4 > 0.
Como f_{xx} < 0 e D>0, a Hessiana é negativa definida, indicando máximo local.

Resposta

O ponto crítico é \bigl(\tfrac12,1\bigr) e trata-se de um máximo local.

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