Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=(x-1)^{2}+(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(y-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = (x-1)^{2} + (x-2)^{2} + (y-1)^{2} + (y-3)^{2}.
O conteúdo aqui é cálculo de funções de duas variáveis: usamos gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2(x-1)\cdot1 + 2(x-2)\cdot1 = 2(x-1) + 2(x-2) = 4x - 6,
\frac{\partial f}{\partial y} = 2(y-1)\cdot1 + 2(y-3)\cdot1 = 2(y-1) + 2(y-3) = 4y - 8.

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para encontrar o ponto crítico:
4x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2},
4y - 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{8}{4} = 2.
Logo, há um único ponto crítico em \bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr).

Passo 4

Estudamos a Hessiana para classificar o ponto crítico. A Hessiana é a matriz
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.
Os autovalores de H são 4 e 4, ambos positivos, logo H é definida positiva.

Passo 5

Como a Hessiana é definida positiva no ponto crítico, ele é um ponto de mínimo estrito. Além disso, por ser a soma de quadrados sem restrição, este mínimo é global.

Resposta

O único ponto crítico é \bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr), e ele é um mínimo (estrito e global).

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