Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[-2,2] \times[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=4 x^{2}-y^{3}+3 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{2}-y^{3}+3y
definida no retângulo compacto [-2,2]\times[-2,2]. Precisamos achar os pontos críticos interiormente (onde o gradiente some), classificar cada um via Hessiana e, em seguida, identificar os extremos globais, já que o domínio é fechado e limitado.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_{x}(x,y)=8x=0
f_{y}(x,y)=-3y^{2}+3=0
Da primeira vem x=0. Da segunda segue
-3y^{2}+3=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Logo os pontos críticos interiores são
(0,1) e (0,-1).

Passo 3

Para classificar, calculamos a Hessiana
H(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0\\\\ 0 & -6y \end{pmatrix}.
Em (0,1) temos
H(0,1)=\begin{pmatrix}8&0\\\ 0&-6\end{pmatrix}, \quad\det H(0,1)=8\cdot(-6)=-48<0,
portanto (0,1) é ponto de sela.
Em (0,-1)
H(0,-1)=\begin{pmatrix}8&0\\\ 0&6\end{pmatrix}, \quad\det H(0,-1)=8\cdot6=48>0, \quad f_{xx}=8>0,
logo (0,-1) é mínimo local.

Passo 4

Para achar os extremos globais, note que
f(x,y)=4x^{2}+g(y), \quad g(y)=-y^{3}+3y.
No intervalo [-2,2] a função x\mapsto4x^{2} varia entre 0 (em x=0) e 16 (em x=\pm2). A parte g(y) tem derivada g'(y)=-3y^{2}+3, isto é críticos em y=\pm1, e
g(-2)=8-6=2, \quad g(-1)=1-3=-2, \quad g(1)=-1+3=2, \quad g(2)=-8+6=-2.
Portanto
– O mínimo de g em [-2,2] é -2, atingido em y=-1 e y=2.
– O máximo de g em [-2,2] é 2, atingido em y=1 e y=-2.
Combinando com 4x^{2}, o valor global mínimo de f é
0 + (-2) = -2,
ocorre em x=0 e em y=-1 ou y=2.
O valor global máximo de f é
16 + 2 = 18,
ocorre em x=\pm2 e em y=1 ou y=-2.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,1) – ponto de sela.
(0,-1) – mínimo local.
Extremos globais em [-2,2]\times[-2,2]:
Mínimo global f=-2 em (0,-1) e (0,2).
Máximo global f=18 em (2,1), (-2,1), (2,-2) e (-2,-2).

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