Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas : f:[-2,2] \times[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=4 x^{2}-y^{3}+3 y
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{2}-y^{3}+3y
definida no retângulo compacto [-2,2]\times[-2,2]. Precisamos achar os pontos críticos interiormente (onde o gradiente some), classificar cada um via Hessiana e, em seguida, identificar os extremos globais, já que o domínio é fechado e limitado.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
No intervalo [-2,2] a função x\mapsto4x^{2} varia entre 0 (em x=0) e 16 (em x=\pm2). A parte g(y) tem derivada g'(y)=-3y^{2}+3, isto é críticos em y=\pm1, e
Portanto
– O mínimo de g em [-2,2] é -2, atingido em y=-1 e y=2.
– O máximo de g em [-2,2] é 2, atingido em y=1 e y=-2.
Combinando com 4x^{2}, o valor global mínimo de f é
0 + (-2) = -2,
ocorre em x=0 e em y=-1 ou y=2.
O valor global máximo de f é
16 + 2 = 18,
ocorre em x=\pm2 e em y=1 ou y=-2.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,1) – ponto de sela.
(0,-1) – mínimo local.
Extremos globais em [-2,2]\times[-2,2]:
Mínimo global f=-2 em (0,-1) e (0,2).
Máximo global f=18 em (2,1), (-2,1), (2,-2) e (-2,-2).