Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[-1,1] \times[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}+2x}
definida no quadrado [ -1,1]\times[-1,1]. Precisamos encontrar todos os pontos críticos (incluindo fronteira), verificar onde f atinge máximo e mínimo e classificá-los. O conteúdo envolve derivadas parciais, condições de extremum em multivariáveis e análise de fronteira.

Passo 2

Para achar pontos críticos, considere o expoente
g(x,y)=-x^{2}-y^{2}+2x,
pois f(x,y)=e^{g(x,y)}. Calculamos
\frac{\partial g}{\partial x}=-2x+2,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-2y.
Igualando a zero,
-2x+2=0\implies x=1, \quad -2y=0\implies y=0.
Logo, há um único candidato (1,0), que fica na fronteira do domínio.

Passo 3

Para classificar (1,0), examinamos a concavidade de g: a Hessiana é
H_g=\begin{pmatrix}-2&0\\\ 0&-2\end{pmatrix},
negativa definida, ou seja, g é estritamente côncava. Consequentemente f=e^g é log-côncava e qualquer ponto crítico é máximo global em domínio convexo. Assim (1,0) é máximo. O valor ali é
f(1,0)=e^{-1^{2}-0^{2}+2\cdot1}=e^{1}=e.

Passo 4

Como não há outros pontos críticos internos, os mínimos devem ocorrer na fronteira. Os candidatos extremos usualmente são os vértices do quadrado:
(\pm1,\pm1). Calculamos o expoente em cada um:
  • Em (-1,-1) e (-1,1): g=-(-1)^{2}-1^{2}+2(-1)=-1-1-2=-4 \implies f=e^{-4}.
  • Em (1,1) e (1,-1): g=-1-1+2=0 \implies f=e^{0}=1.

Passo 5

Comparando valores:
  • Máximo global f_{\max}=e em (1,0).
  • Mínimo global f_{\min}=e^{-4} em (-1,-1) e (-1,1).
    Não há outros extremos.

Resposta

Máximo em (1,0) com f(1,0)=e.
Mínimos em (-1,-1) e (-1,1) com f(-1,\pm1)=e^{-4}.

Exercícios relacionados