Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida no quadrado
. Precisamos encontrar todos os pontos críticos (incluindo fronteira), verificar onde
atinge máximo e mínimo e classificá-los. O conteúdo envolve derivadas parciais, condições de extremum em multivariáveis e análise de fronteira.
Passo 2
Para achar pontos críticos, considere o expoente
pois
. Calculamos
Igualando a zero,
Logo, há um único candidato
, que fica na fronteira do domínio.
Passo 3
Para classificar
, examinamos a concavidade de
: a Hessiana é
negativa definida, ou seja,
é estritamente côncava. Consequentemente
é log-côncava e qualquer ponto crítico é máximo global em domínio convexo. Assim
é máximo. O valor ali é
Passo 4
Como não há outros pontos críticos internos, os mínimos devem ocorrer na fronteira. Os candidatos extremos usualmente são os vértices do quadrado:
. Calculamos o expoente em cada um:
- Em
e : - Em
e :
Passo 5
Comparando valores:
- Máximo global
em . - Mínimo global
em e .
Não há outros extremos.
Resposta
Máximo em
com
.
Mínimos em e
com
.
Mínimos em