Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=2 x+y-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x,y)=2x+y-3
e pede para encontrar e classificar os pontos máximos e mínimos no domínio fechado D=[0,1]\times[0,1].
Conteúdo necessário:
– Cálculo do gradiente para verificar pontos críticos internos.
– Teorema de Weierstrass (função contínua em conjunto compacto atinge valores extremos).
– Observação de que, por ser função afim (linear), os extremos ocorrem nos vértices do quadrado.

Passo 2

Calcular o gradiente de f para achar pontos críticos internos:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(2,\,1).
Como \nabla f(x,y)\neq(0,0) em todo o domínio, não há pontos críticos no interior de D.

Passo 3

Pelo Teorema de Weierstrass e pelo fato de f ser afim, os extremos ocorrem nos vértices de D. Avaliamos f em (x,y)\in\{0,1\}\times\{0,1\}:
f(0,0)=2\cdot0+0-3=-3,
f(1,0)=2\cdot1+0-3=-1,
f(0,1)=2\cdot0+1-3=-2,
f(1,1)=2\cdot1+1-3=0.

Passo 4

Comparando os valores, identificamos:
– Valor mínimo de f é -3, atingido em (0,0).
– Valor máximo de f é 0, atingido em (1,1).

Resposta

Mínimo de f: \,f(0,0)=-3.
Máximo de f: \,f(1,1)=0.

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