Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os extremos da função
no domínio fechado e limitado
. O conteúdo envolve derivadas parciais para pontos críticos internos e depois a análise dos contornos para extremos globais.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para buscar pontos críticos internos:
Igualando
dá
(isto é
), e igualando
dá
(isto é
). Não há interseção comum entre essas soluções no intervalo aberto
.
Passo 3
Como não existem pontos que anulem simultaneamente
e
no interior, concluímos que não há pontos críticos internos.
Passo 4
Agora, examinamos os contornos do retângulo:
- No lado
:
Máximo
em
; mínimo
em
.
- No lado
:
Máximo
em
; mínimo
em
.
- No lado
ou :
Monótone crescente em
, logo mínimo
em
e máximo
em
.
- No lado
:
Monótone decrescente em
, logo máximo
em
e mínimo
em
.
Passo 5
Reunindo todos os valores:
– Máximos encontrados:
– Mínimo encontrado:
Os outros candidatos (por exemplo
com
, ou
com
) não superam esses valores extremos.
Resposta
O valor máximo global é
atingido em
e
.
O valor mínimo global é atingido em
.
O valor mínimo global é