Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[0,1] \times[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{x} \cos y

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os extremos da função
f(x,y)=e^{x}\cos y
no domínio fechado e limitado [0,1]\times[0,2\pi]. O conteúdo envolve derivadas parciais para pontos críticos internos e depois a análise dos contornos para extremos globais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para buscar pontos críticos internos:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cos y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=-\,e^{x}\sin y.
Igualando f_x=0 \cos y=0 (isto é y=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), e igualando f_y=0 \sin y=0 (isto é y=0,\pi,2\pi). Não há interseção comum entre essas soluções no intervalo aberto (0,2\pi).

Passo 3

Como não existem pontos que anulem simultaneamente f_x e f_y no interior, concluímos que não há pontos críticos internos.

Passo 4

Agora, examinamos os contornos do retângulo:
  1. No lado x=0:
f(0,y)=\cos y,\quad y\in[0,2\pi].
Máximo \cos y=1 em y=0,2\pi; mínimo \cos y=-1 em y=\pi.
  1. No lado x=1:
f(1,y)=e\,\cos y,\quad y\in[0,2\pi].
Máximo e em y=0,2\pi; mínimo -e em y=\pi.
  1. No lado y=0 ou y=2\pi:
f(x,0)=f(x,2\pi)=e^{x},\quad x\in[0,1].
Monótone crescente em x, logo mínimo e^{0}=1 em x=0 e máximo e^{1}=e em x=1.
  1. No lado y=\pi:
f(x,\pi)=-\,e^{x},\quad x\in[0,1].
Monótone decrescente em x, logo máximo -e^{0}=-1 em x=0 e mínimo -e^{1}=-e em x=1.

Passo 5

Reunindo todos os valores:
– Máximos encontrados:
\;f(1,0)=e,\;f(1,2\pi)=e.
– Mínimo encontrado:
\;f(1,\pi)=-e.
Os outros candidatos (por exemplo (0,0) com f=1, ou (0,\pi) com f=-1) não superam esses valores extremos.

Resposta

O valor máximo global é e atingido em (x,y)=(1,0) e (1,2\pi).
O valor mínimo global é -e atingido em (x,y)=(1,\pi).

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