Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
no domínio fechado e limitado
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: buscamos pontos críticos internamente, classificamos via Hessiana e depois analisamos a fronteira para valores extremos.
Passo 2
Computamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos internos:
Resolvendo
Como
e
, há um único ponto crítico interno em
.
Passo 3
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
A Hessiana é definida negativa em todo o domínio, logo
é estritamente côncava e o ponto crítico
é um máximo local. Em função côncava num domínio convexo, esse é também o máximo global.
Passo 4
Para o mínimo global, como
é côncava, ele ocorre na fronteira de
. Verificamos os quatro vértices:
-
: -
: -
: -
:
Passo 5
Comparando numericamente, o menor valor ocorre em
, pois
Logo o mínimo global é em .
Logo o mínimo global é em
Resposta
Máximo global em
com
Mínimo global em
com