Classifique cada sentença abaixo em verdadeira(V) ou falsa (F). © ( ) A proporção amostral p é um estimador não-viesado, para proporção p, e sua variância é no máximo 14 n.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: “A proporção amostral p é um estimador não-viesado, para proporção p, e sua variância é no máximo 14 n.”
Estamos lidando com conceitos de Estatística, especificamente sobre estimadores e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um estimador não-viesado e como calcular a variância da proporção amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a proporção amostral p. Ela é calculada como o número de sucessos na amostra dividido pelo tamanho da amostra n. Ou seja, p = Xn, onde X é o número de sucessos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre estimador não-viesado. Um estimador é não-viesado se a sua média é igual ao parâmetro que estamos estimando. No nosso caso, a média de p deve ser igual a p, a verdadeira proporção na população.
Matematicamente, isso significa que E[p] = p. Vamos calcular isso:
E[p] = E[Xn] = E[X]n = n pn = p.
Então, p é realmente um estimador não-viesado de p.

Passo 4

Agora vamos para a variância de p. A variância de um estimador nos dá uma ideia de quão disperso ele está em torno do valor esperado.
A fórmula para a variância de p é:
Var(p) = p(1 - p)n.
Queremos saber se essa variância é no máximo 14n. Para isso, vamos analisar o termo p(1 - p).

Passo 5

O produto p(1 - p) alcança seu valor máximo quando p = 0,5. Nesse caso:
p(1 - p) = 0,5 times 0,5 = 0,25 = 14.
Portanto, para qualquer valor de p entre 0 e 1, temos que p(1 - p) <= 14. Isso implica que:
Var(p) = p(1 - p)n <= 14n.

Resposta

Verdadeira (V).

Exercícios relacionados