Uma companhia de abastecimento afirma que o consumo mensal de água, em
, por residência, para os domicílios atendidos pelos seus serviços é uma variável aleatória que segue o modelo normal com média
e desvio padrão
. Para uma amostra aleatória formada por 100 domicílios atendidos pela companhia, obtenha a probabilidade de que o consumo total difira de
por menos de
.
Passo 1
Então, vamos por partes! O enunciado diz que uma companhia de abastecimento afirma que o consumo mensal de água por residência segue uma distribuição normal com média de
e desvio padrão de
. Temos uma amostra de 100 domicílios e queremos descobrir a probabilidade de que o consumo total desses 100 lares seja diferente de
por menos de
. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição normal e a soma de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o consumo total seja diferente de
por menos de
. Isso quer dizer que o consumo total está entre
e
. Matemáticamente, queremos encontrar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a média e o desvio padrão do consumo total para 100 domicílios. Como cada residência tem uma média de
, para 100 residências, a média total será:
E o desvio padrão total, já que as variáveis são independentes, é dado por:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão do total, podemos padronizar a variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita pela fórmula:
Onde
é o valor que queremos padronizar.
Passo 5
Aplicando a padronização para os limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre
e
. Usando a tabela da distribuição normal padrão, buscamos os valores correspondentes a
e
.
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Passo 7
Consultando a tabela, encontramos que:
E como
, então:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que o consumo total difira de
por menos de
é aproximadamente
.