Uma companhia de abastecimento afirma que o consumo mensal de água, em m^3, por residência, para os domicílios atendidos pelos seus serviços é uma variável aleatória que segue o modelo normal com média mu=10 m^3 e desvio padrão sigma=2 m^3. Para uma amostra aleatória formada por 100 domicílios atendidos pela companhia, obtenha a probabilidade de que o consumo total difira de 1000 m^3 por menos de 5 m^3.

Passo 1

Então, vamos por partes! O enunciado diz que uma companhia de abastecimento afirma que o consumo mensal de água por residência segue uma distribuição normal com média de mu = 10 , m^3 e desvio padrão de sigma = 2 , m^3. Temos uma amostra de 100 domicílios e queremos descobrir a probabilidade de que o consumo total desses 100 lares seja diferente de 1000 , m^3 por menos de 5 , m^3. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição normal e a soma de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o consumo total seja diferente de 1000 , m^3 por menos de 5 , m^3. Isso quer dizer que o consumo total está entre 995 , m^3 e 1005 , m^3. Matemáticamente, queremos encontrar:
P(995 < Total < 1005)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a média e o desvio padrão do consumo total para 100 domicílios. Como cada residência tem uma média de 10 , m^3, para 100 residências, a média total será:
mutotal = 100 times 10 = 1000 , m^3
E o desvio padrão total, já que as variáveis são independentes, é dado por:
sigmatotal = sigma times raizn = 2 times raiz100 = 2 times 10 = 20 , m^3

Passo 4

Com a média e o desvio padrão do total, podemos padronizar a variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita pela fórmula:
Z = X - musigma
Onde X é o valor que queremos padronizar.

Passo 5

Aplicando a padronização para os limites de 995 , m^3 e 1005 , m^3:
Para 995 , m^3:
Z1 = 995 - 100020 = -520 = -0,25
Para 1005 , m^3:
Z2 = 1005 - 100020 = 520 = 0,25

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -0,25 e 0,25. Usando a tabela da distribuição normal padrão, buscamos os valores correspondentes a Z = 0,25 e Z = -0,25.
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
P(-0,25 < Z < 0,25) = 2 times P(0 < Z < 0,25)

Passo 7

Consultando a tabela, encontramos que:
P(Z < 0,25) approx 0,5987
E como P(Z < 0) = 0,5, então:
P(0 < Z < 0,25) = 0,5987 - 0,5 = 0,0987
Portanto:
P(-0,25 < Z < 0,25) = 2 times 0,0987 = 0,1974

Resposta

A probabilidade de que o consumo total difira de 1000 , m^3 por menos de 5 , m^3 é aproximadamente 19,74%.

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