Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Se a amplitude amostral W=MaxX1, X2-MinX1, X2), calcule P(W=2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população formada pelos números P = 0, 0, 0, 1, 2. Queremos tirar todas as possíveis amostras de tamanho n = 2, com reposição, ou seja, após tirar um número, ele volta para a população e pode ser tirado de novo. Vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e como calcular a amplitude amostral W, que é a diferença entre o maior e o menor número tirado na amostra. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de W ser igual a 2, ou seja, P(W=2).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de duas retiradas com reposição da população P = 0, 0, 0, 1, 2. Como temos reposição, cada número pode ser tirado mais de uma vez. A população tem 5 elementos, então o total de combinações possíveis é 5 times 5 = 25.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número ser tirado. Na população, o número 0 aparece 3 vezes, o número 1 aparece 1 vez e o número 2 aparece 1 vez. Então:
  • P(X1 = 0) = 35
  • P(X1 = 1) = 15
  • P(X1 = 2) = 15
    E o mesmo vale para X2, já que a retirada é com reposição.

Passo 4

Queremos encontrar P(W=2), ou seja, a probabilidade de que a diferença entre o maior e o menor número da amostra seja 2. Isso só acontece se uma retirada for 0 e a outra for 2, em qualquer ordem. Ou seja, temos duas possibilidades:
  1. X1 = 0 e X2 = 2
  2. X1 = 2 e X2 = 0

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas possibilidades:
  1. P(X1 = 0 e X2 = 2) = P(X1 = 0) times P(X2 = 2) = 35 times 15 = 325
  2. P(X1 = 2 e X2 = 0) = P(X1 = 2) times P(X2 = 0) = 15 times 35 = 325

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades das duas possibilidades para obter P(W=2):
P(W=2) = 325 + 325 = 625

Resposta

A probabilidade de W = 2 é 625 ou 0,24.

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