Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Se a amplitude amostral
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população formada pelos números
. Queremos tirar todas as possíveis amostras de tamanho
, com reposição, ou seja, após tirar um número, ele volta para a população e pode ser tirado de novo. Vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e como calcular a amplitude amostral
, que é a diferença entre o maior e o menor número tirado na amostra. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de
ser igual a 2, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de duas retiradas com reposição da população
. Como temos reposição, cada número pode ser tirado mais de uma vez. A população tem 5 elementos, então o total de combinações possíveis é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número ser tirado. Na população, o número 0 aparece 3 vezes, o número 1 aparece 1 vez e o número 2 aparece 1 vez. Então:
-
-
-
E o mesmo vale para, já que a retirada é com reposição.
Passo 4
Queremos encontrar
, ou seja, a probabilidade de que a diferença entre o maior e o menor número da amostra seja 2. Isso só acontece se uma retirada for 0 e a outra for 2, em qualquer ordem. Ou seja, temos duas possibilidades:
-
e -
e
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas possibilidades:
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades das duas possibilidades para obter
:
Resposta
A probabilidade de
é
ou 0,24.