Considere a população P=0,0,0,1,2 e todas as amostras possíveis de tamanho n=2, com reposição, retiradas dessa população. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Obtenha a distribuição de probabilidade da estatística W=MaxX1, X2-MinX1, X2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma população composta pelos elementos $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $. Queremos formar todas as amostras possíveis de tamanho $ n = 2 $ com reposição. Isso significa que cada número pode ser escolhido mais de uma vez. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade da estatística $ W = \max{X_1, X_2} - \min{X_1, X_2} $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade básica e como calcular probabilidades de eventos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa amostragem com reposição. Isso quer dizer que, após selecionar um elemento da população, ele é colocado de volta antes da próxima seleção. Assim, cada seleção é independente das anteriores.

Passo 3

Vamos identificar todas as possíveis amostras de tamanho 2 que podemos obter dessa população. Como temos 5 elementos na população e a amostragem é com reposição, o total de amostras possíveis é $ 5 \times 5 = 25 $.

Passo 4

Agora, vamos listar as possíveis combinações de $ X_1 $ e $ X_2 $:
X1

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de cada elemento da população ser escolhido. Como a população tem 5 elementos, com 3 deles sendo 0, 1 sendo 1 e 1 sendo 2:
P(X1 = 0) = 35, P(X1 = 1) = 15, P(X1 = 2) = 15
E o mesmo vale para $ X_2 $, já que a amostragem é com reposição.

Passo 6

Vamos calcular a probabilidade de $ W = 0 $. Isso acontece quando $ X_1 = X_2 $:
W = 0
Calculando cada parte:
X1 = X2
P(W = 0) = P(X1 = 0 & X2 = 0) + P(X1 = 1 & X2 = 1) + P(X1 = 2 & X2 = 2)
P(X1 = 0 & X2 = 0) = (35) times (35) = 925
Somando tudo:
P(X1 = 1 & X2 = 1) = (15) times (15) = 125

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade de $ W = 1 $. Isso acontece quando a diferença entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é 1:
W = 1
Calculando cada parte:
X1
X2
P(W = 1) = P(X1 = 0 & X2 = 1) + P(X1 = 1 & X2 = 0) + P(X1 = 1 & X2 = 2) + P(X1 = 2 & X2 = 1)
P(X1 = 0 & X2 = 1) = (35) times (15) = 325
Somando tudo:
P(X1 = 1 & X2 = 0) = (15) times (35) = 325

Passo 8

Por fim, vamos calcular a probabilidade de $ W = 2 $. Isso acontece quando a diferença entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é 2:
W = 2
Calculando cada parte:
X1
X2
Somando tudo:
P(W = 2) = P(X1 = 0 & X2 = 2) + P(X1 = 2 & X2 = 0)

Resposta

A distribuição de probabilidade da estatística $ W $ é:
W

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