Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
, com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Obtenha a distribuição de probabilidade da estatística
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma população composta pelos elementos $ P = {0, 0, 0, 1, 2} $. Queremos formar todas as amostras possíveis de tamanho $ n = 2 $ com reposição. Isso significa que cada número pode ser escolhido mais de uma vez. As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ representam o primeiro e o segundo elemento selecionados, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade da estatística $ W = \max{X_1, X_2} - \min{X_1, X_2} $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade básica e como calcular probabilidades de eventos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa amostragem com reposição. Isso quer dizer que, após selecionar um elemento da população, ele é colocado de volta antes da próxima seleção. Assim, cada seleção é independente das anteriores.
Passo 3
Vamos identificar todas as possíveis amostras de tamanho 2 que podemos obter dessa população. Como temos 5 elementos na população e a amostragem é com reposição, o total de amostras possíveis é $ 5 \times 5 = 25 $.
Passo 4
Agora, vamos listar as possíveis combinações de $ X_1 $ e $ X_2 $:
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de cada elemento da população ser escolhido. Como a população tem 5 elementos, com 3 deles sendo 0, 1 sendo 1 e 1 sendo 2:
E o mesmo vale para $ X_2 $, já que a amostragem é com reposição.
Passo 6
Vamos calcular a probabilidade de $ W = 0 $. Isso acontece quando $ X_1 = X_2 $:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, vamos calcular a probabilidade de $ W = 1 $. Isso acontece quando a diferença entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é 1:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 8
Por fim, vamos calcular a probabilidade de $ W = 2 $. Isso acontece quando a diferença entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é 2:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A distribuição de probabilidade da estatística $ W $ é: