Classifique cada sequencia, a seguir em: Crescente, Decrescente, não-monótona, limitada superiormente, limitada inferiormente. Indique se a sequencia é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para classificar a sequência
em termos de monotonicidade, limites superior e inferior e verificar se ela converge ou diverge. Vamos usar teoria de sequências: definição de monotonicidade, noções de limite e critério de convergência.
Passo 2
Analisando o termo geral, sabemos que
é periódico de período 8. Os valores se repetem em ciclo:
Portanto toma valores positivos e negativos que diminuem em módulo como
. Por exemplo:
Portanto
Passo 3
Para ser monótona, a sequência teria de sempre subir ou sempre descer. Aqui vemos trechos em que ela diminui (de
para
), depois continua caindo até zero, mas depois de valores negativos volta a subir (por exemplo, de
para
). Logo, ela não é monótona.
Passo 4
Como
, temos
E para todo
,
é finito, logo há limite superior e inferior finitos. Assim, a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.
Passo 5
Pelo critério da lei do aperto (squeeze theorem), como
então
Portanto a sequência converge ao valor 0.
Resposta
A sequência é não-monótona, limitada superiormente e inferiormente, e convergente com limite igual a 0.