Classifique cada sequencia, a seguir em: Crescente, Decrescente, não-monótona, limitada superiormente, limitada inferiormente. Indique se a sequencia é convergente ou divergente
sen(n pi / 4)nn=1^infty

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência an=tfracsin(npi/4)n em termos de monotonicidade, limites superior e inferior e verificar se ela converge ou diverge. Vamos usar teoria de sequências: definição de monotonicidade, noções de limite e critério de convergência.

Passo 2

Analisando o termo geral, sabemos que sin(npi/4) é periódico de período 8. Os valores se repetem em ciclo:
sin(pi/4)=tfracraiz22,;sin(pi/2)=1,;sin(3pi/4)=tfracraiz22,;sin(pi)=0,ldots
Portanto an toma valores positivos e negativos que diminuem em módulo como 1/n. Por exemplo:
a1=tfracraiz2/21approx0,707,;a2=tfrac12=0,5,;a4=0,;a5approx-0,141,;a6approx-0,167,ldots

Passo 3

Para ser monótona, a sequência teria de sempre subir ou sempre descer. Aqui vemos trechos em que ela diminui (de a1 para a2), depois continua caindo até zero, mas depois de valores negativos volta a subir (por exemplo, de a6 para a7). Logo, ela não é monótona.

Passo 4

Como -1<=sin(npi/4)<=1, temos
-tfrac1n<= an<=tfrac1n
E para todo n, tfrac1n é finito, logo há limite superior e inferior finitos. Assim, a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.

Passo 5

Pelo critério da lei do aperto (squeeze theorem), como
limntoinfty-tfrac1n=0, limntoinftytfrac1n=0
então
limntoinftyan=0
Portanto a sequência converge ao valor 0.

Resposta

A sequência é não-monótona, limitada superiormente e inferiormente, e convergente com limite igual a 0.

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