Classifique cada sistema linear homogêneo em determinado ou indeterminado.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-4 z=0 \\\\ -2 x-2 y+2 z=0 \\\\ -x+2 y-8 z=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema homogêneo
\begin{cases} x + 2y - 4z = 0,\\\\ -2x - 2y + 2z = 0,\\\\ -\,x + 2y - 8z = 0 \end{cases}
como determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções). O conteúdo envolve teoria de sistemas lineares, em particular a relação entre o posto da matriz de coeficientes e o número de incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e lembramos que, para um sistema homogêneo com n incógnitas, vale:
— se \mathrm{rank}(A)=n, só existe a solução trivial;
— se \mathrm{rank}(A)<n, há infinitas soluções.
Aqui n=3, então precisamos ver se o posto de A é igual a 3 ou menor.

Passo 3

Montamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\\\ -2 & -2 & 2\\\\ -1 & 2 & -8 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss:
  1. R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 (0,\;2,\;-6).
  2. R_3 \leftarrow R_3 + R_1 (0,\;4,\;-12).
  3. Nota-se que a nova R_3 é 2 vezes R_2, então R_3\leftarrow R_3-2R_2 zera essa linha.
Ficamos com a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 2 & -6\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Na forma escalonada há 2 linhas não nulas, logo
\mathrm{rank}(A)=2 < 3.
Como o posto é menor que o número de incógnitas, o sistema homogêneo tem infinitas soluções e, portanto, é indeterminado.

Resposta

O sistema é indeterminado.

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