(FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:\left\{\begin{array}{l}x+y+m z=3 \\\\ 2 x+3 y-5 z=-7 \\\\ 3 x-y+z=4\end{array}\right.)
Para que valores de m o sistema é determinado?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear em três incógnitas (x,y,z) que depende de um parâmetro m. Para que o sistema seja determinado (isto é, tenha solução única), precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\\\ 2 & 3 & -5\\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

Calculamos o determinante de A usando a regra de Sarrus ou expansão de Laplace pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}3 & -5 \\\\ -1 & 1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}2 & -5 \\\\ 3 & 1\end{vmatrix} +m\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 3 & -1\end{vmatrix}.
Agora avaliamos cada menor:
\begin{vmatrix}3 & -5 \\\\ -1 & 1\end{vmatrix} =3\cdot1 -(-5)\cdot(-1) =3 - 5 =-2,
\begin{vmatrix}2 & -5 \\\\ 3 & 1\end{vmatrix} =2\cdot1 -(-5)\cdot3 =2 + 15 =17,
\begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 3 & -1\end{vmatrix} =2\cdot(-1) - 3\cdot3 =-2 -9 =-11.
Substituindo em \det(A):
\det(A) = 1\cdot(-2) \;-\;1\cdot17 \;+\;m\cdot(-11) = -2 -17 -11m = -11m -19.

Passo 4

Para que o sistema tenha solução única, exigimos
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad -11m -19 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad m \neq -\frac{19}{11}.

Resposta

O sistema é determinado para todos os valores de m tais que
m \neq -\frac{19}{11}.

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