Classifique cada sistema linear homogêneo em determinado ou indeterminado.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=0 \\\\ 3 x+4 y-z=0 \\\\ -2 x-2 y+2 z=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com três incógnitas x, y e z:
\begin{cases} x + 2y + z = 0,\\\\ 3x + 4y - z = 0,\\\\ -2x -2y +2z = 0.
Queremos saber se ele é determinado (solução única, a trivial) ou indeterminado (infinitas soluções).

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e escalonar por operações elementares:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 4 & -1 & 0\\\\ -2 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right).
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1, obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & -4 & 0\\\\ 0 & 2 & 4 & 0 \end{array}\right).
Em seguida, R_3 \leftarrow R_3 + R_2 dá uma linha nula:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Passo 3

O número de linhas não-nulas nessa forma escalonada é o posto da matriz. Vemos duas linhas não-nulas, logo
\text{posto} = 2.

Passo 4

Temos 3 incógnitas e posto 2. Como
\text{posto} < \text{número de incógnitas},úó
o sistema admite infinitas soluções, isto é, é indeterminado.

Resposta

O sistema é indeterminado.

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