(UFG-GO/ADAPTADA) Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes: \left[\begin{array}{ccc}3 & 4 & 5 \\\\ 2 & k & 4 \\\\ 1 & -2 & 2\end{array}\right]. Qual a condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5\\\\ 2 & k & 4\\\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}
e pergunta a condição necessária e suficiente para que o sistema tenha única solução. Sabemos que isso ocorre exatamente quando \det(A)\neq0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =3\begin{vmatrix}k & 4\\\\ -2 & 2\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}2 & 4\\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}2 & k\\\\ 1 & -2\end{vmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}k & 4\\\\ -2 & 2\end{vmatrix} = k\cdot2 - 4\cdot(-2) = 2k + 8,
\begin{vmatrix}2 & 4\\\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2\cdot2 - 4\cdot1 = 4 - 4 = 0,
\begin{vmatrix}2 & k\\\\ 1 & -2\end{vmatrix} = 2\cdot(-2) - k\cdot1 = -4 - k.
Substituindo, obtemos
\det(A) = 3(2k+8) - 4\cdot0 + 5(-4-k) = 6k + 24 - 20 - 5k = k + 4.

Passo 4

Para o sistema ter solução única, precisamos de \det(A)\neq0. Portanto
k + 4 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k \neq -4.

Resposta

k\neq -4

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