(UFSJ-MG) Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=4 \\\\ 2 x+k y-4 z=8 \\\\ 3 x+3 y+k z=3\end{array} 6\right.)
Com base no sistema, é correto afirmar que se:
a) \mathrm{k}=6, o sistema é impossível.
b) \mathrm{k}=3, o sistema admite solução única.
c) \mathrm{k}=-2, o sistema admite infinitas soluções.
d) \mathrm{k}=-6, o sistema é homogêneo e admite solução ( 0,0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z\) \[\begin{cases} x + y - 2z = 4,\\\\ 2x + k\,y -4z = 8,\\\\ 3x + 3y + k\,z = 3, \end{cases}
e pede para avaliar as alternativas em função de (k]. O conteúdo é classificação de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes e estudo de compatibilidade quando o determinante é zero.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 2 & k & -4\\\\ 3 & 3 & k \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante \Delta = \det(A). Por expansão (por exemplo, pela primeira linha),
\Delta = 1\cdot\det\begin{pmatrix}k & -4\\\ 3 & k\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 3 & k\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\\ 3 & 3\end{pmatrix},
\Delta = 1(k^2+12) - (2k+12) -2(6-3k) = k^2+4k-12.

Passo 3

Fatorando,
\Delta = k^2+4k-12 = (k+6)(k-2).
Logo \Delta\neq0 para k\neq2 e k\neq-6; nesses casos o sistema tem solução única. Se k=2 ou k=-6, então \Delta=0 e o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções, dependendo da compatibilidade.

Passo 4

Precisamos checar especialmente k=-6 (já que k=2 não está entre as opções). Para k=-6 a matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 4\\\\ 2 & -6 & -4 & 8\\\\ 3 & 3 & -6 & 3 \end{array}\right).
Fazendo L_2\to L_2-2L_1 e L_3\to L_3-3L_1 obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 4\\\\ 0 & -8 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{array}\right).
Da linha 3 surge a contradição 0=-9, ou seja, para k=-6 o sistema é impossível.

Passo 5

Agora analisamos cada alternativa:
a) k=6. Neste caso \Delta(6)=(6+6)(6-2)\neq0, logo há solução única, não é impossível. (falso)
b) k=3. Aqui \Delta(3)=(3+6)(3-2)=9\neq0, logo o sistema admite solução única. (verdadeiro)
c) k=-2. Aqui \Delta(-2)=(-2+6)(-2-2)=4\cdot(-4)\neq0, novamente solução única, não infinitas. (falso)
d) k=-6. Vimos que o sistema não é homogêneo nem admite (0,0,0), pois é impossível. (falso)

Resposta

b) \mathrm{k}=3, o sistema admite solução única.

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