(UFSJ-MG) Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=4 \\\\ 2 x+k y-4 z=8 \\\\ 3 x+3 y+k z=3\end{array} 6\right.)
Com base no sistema, é correto afirmar que se:
a) \mathrm{k}=6, o sistema é impossível.
b) \mathrm{k}=3, o sistema admite solução única.
c) \mathrm{k}=-2, o sistema admite infinitas soluções.
d) \mathrm{k}=-6, o sistema é homogêneo e admite solução ( 0,0,0 ).
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z\)
\[\begin{cases} x + y - 2z = 4,\\\\ 2x + k\,y -4z = 8,\\\\ 3x + 3y + k\,z = 3, \end{cases}
e pede para avaliar as alternativas em função de (k]. O conteúdo é classificação de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes e estudo de compatibilidade quando o determinante é zero.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 2 & k & -4\\\\ 3 & 3 & k \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante \Delta = \det(A). Por expansão (por exemplo, pela primeira linha),
Logo \Delta\neq0 para k\neq2 e k\neq-6; nesses casos o sistema tem solução única. Se k=2 ou k=-6, então \Delta=0 e o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções, dependendo da compatibilidade.
Passo 4
Precisamos checar especialmente k=-6 (já que k=2 não está entre as opções). Para k=-6 a matriz aumentada é