Seja T: R^{3} \rightarrow R^{2} uma transformação linear com T(1,0,0)=(1,2), T(0,1,0)=(0,1) e T(0,0,1)=(3,0). Qual o resultado de T(2,-1,3) ?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 cujos valores em vetores canônicos estão dados por T(1,0,0)=(1,2), T(0,1,0)=(0,1) e T(0,0,1)=(3,0). Queremos encontrar T(2,-1,3). Para isso, usaremos a propriedade de linearidade.

Passo 2

Expressamos o vetor (2,-1,3) como combinação linear dos vetores canônicos:
(2,-1,3) = 2\,(1,0,0) - 1\,(0,1,0) + 3\,(0,0,1).

Passo 3

Aplicando a linearidade de T, temos
T(2,-1,3) = 2\,T(1,0,0) - 1\,T(0,1,0) + 3\,T(0,0,1).
Substituindo os valores dados,
T(2,-1,3) = 2\,(1,2) - 1\,(0,1) + 3\,(3,0).

Passo 4

Calculamos cada termo e somamos coordenada a coordenada:
2\,(1,2) = (2,4),\quad -1\,(0,1) = (0,-1),\quad 3\,(3,0) = (9,0).
Logo,
T(2,-1,3) = (2,4) + (0,-1) + (9,0) = (11,3).

Resposta

(11,3)

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