Considere a equação da hipérbole
. Determine:
3.a) o centro;
3.b) os eixos focal e não focal;
3.c) os vértices reais e imaginários;
3.d) os focos;
3.e) as equações das assíntotas;
3.f) O esboço da hipérbole.
3.a) o centro;
3.b) os eixos focal e não focal;
3.c) os vértices reais e imaginários;
3.d) os focos;
3.e) as equações das assíntotas;
3.f) O esboço da hipérbole.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida pela equação
As perguntas são:
(a) determinar o centro;
(b) indicar os eixos focal e não focal (isto é, a reta do eixo transverso e a reta do eixo conjugado);
(c) encontrar os vértices reais e os vértices imaginários;
(d) encontrar os focos;
(e) obter as equações das assíntotas;
(f) fazer o esboço da hipérbole (instruções para desenhar).
(a) determinar o centro;
(b) indicar os eixos focal e não focal (isto é, a reta do eixo transverso e a reta do eixo conjugado);
(c) encontrar os vértices reais e os vértices imaginários;
(d) encontrar os focos;
(e) obter as equações das assíntotas;
(f) fazer o esboço da hipérbole (instruções para desenhar).
Informações relevantes dadas: a equação já está na forma padrão de uma hipérbole centrada em
, escrita como
, com os denominadores
e
visíveis. Não há outras informações externas.
Passo 2
Identificar o centro
e os parâmetros
e
a partir da forma dada.
Observa-se que a equação está na forma
comparando com
vemos que:
Explicação curta do que isso significa: o termo
mostra que a hipérbole está centrada no ponto
;
e
são as “distâncias-padrão” que controlam a largura e a abertura:
e
.
Passo 3
Calcular
e
e interpretar a orientação da hipérbole.
Porque o sinal positivo está no termo com
(o primeiro termo), a hipérbole tem eixo transverso horizontal: os ramos abrem para a esquerda e para a direita ao longo da reta que passa pelo centro com a direção do eixo
. O eixo conjugado (não focal) é perpendicular a esse eixo transverso.
Passo 4
Determinar o centro e os eixos (resposta detalhada e motivada).
Centro: pelo passo anterior, o centro é o ponto
Eixo focal (eixo transverso): é a reta que contém os vértices reais e os focos; como a hipérbole é horizontal, esse eixo é a reta horizontal que passa pelo centro:
Eixo não focal (eixo conjugado): é a reta perpendicular ao eixo focal que passa pelo centro, ou seja, a reta vertical
Explicação didática: o eixo focal é a direção ao longo da qual a hipérbole efetivamente cruza o eixo (tem interseções, os vértices); o eixo não focal é a direção perpendicular que define a “altura” do retângulo auxiliar usado para desenhar assíntotas.
Passo 5
Calcular os vértices reais (os pontos onde a hipérbole corta o eixo transverso).
Os vértices reais ficam distantes
do centro ao longo do eixo transverso (horizontal), portanto suas coordenadas são
Fazendo as somas:
Logo os vértices reais são os pontos
Explicação: em prova, lembrar: para
os vértices têm a forma
.
Passo 6
Calcular os “vértices imaginários” (explicação do que isso quer dizer e cálculo).
Muitas vezes chamam de “vértices imaginários” os pontos do eixo conjugado que estão a distância
do centro; eles não pertencem à hipérbole, mas aparecem no retângulo auxiliar/conjugado. Esses pontos têm coordenadas
Fazendo as operações:
Portanto os vértices imaginários são
Comentário didático: são “imaginários” no sentido de que a hipérbole não passa por eles; servem para construir o retângulo de semi-eixos
e
cujo vértices determinam as assíntotas.
Passo 7
Calcular os focos (usar a relação
).
Para hipérboles da forma
a distância do centro ao foco é dada por
Aqui
Como o eixo focal é horizontal, os focos são
Se quisermos valores aproximados para desenhar,
, então os focos aproximados são
e
.
Explicação: a fórmula
vem da relação geométrica entre os semi-eixos do retângulo auxiliar e a posição dos focos (triângulo retângulo envolvendo
,
e
).
Passo 8
Achar as assíntotas e mostrar o raciocínio.
Para a forma
, as assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm inclinação
. Assim,
Substituindo
,
,
,
:
Se quiser escrever na forma explícita
, desenvolvendo:
e
Explicação didática: as assíntotas são obtidas fazendo a parte à direita tender a zero relativo à parte quadrática quando
fica muito grande, ou geométrica/algébrica via retângulo auxiliar: retas com inclinações
passando pelo centro.
Passo 9
Como esboçar a hipérbole passo a passo (instruções práticas para desenhar sem calculadora).
- Marque o centro em
. - Marque os vértices reais em
e ; estes são os pontos onde os ramos cortam o eixo horizontal. - Marque os vértices “imaginários” em
e ; com eles construa o retângulo auxiliar de lados horizontal e vertical centrado em . - Trace as diagonais desse retângulo: elas são as assíntotas. Ou trace as retas
. - Desenhe dois ramos da hipérbole que passam por
e e que se aproximam das assíntotas quando vão para grandes; os ramos ficam à esquerda e à direita do centro, abrindo horizontalmente. - Se quiser marcar os focos, coloque-os em
, aproximadamente em e ; eles ficam fora do segmento entre os vértices e ajudam a conferir a curvatura.
Comentário motivacional: não precisa ser uma obra de arte — com o retângulo auxiliar e as assíntotas você consegue um esboço preciso o suficiente para a prova. Vai dar certo!
Resposta
(a) Centro:
(b) Eixo focal (transverso):
. Eixo não focal (conjugado):
.
(c) Vértices reais:
e
. Vértices imaginários:
e
.
(d) Focos:
(aproximadamente
e
).
(e) Assíntotas:
(equivalente a
e
).
(f) Esboço: hipérbole com ramos horizontais centrada em
, vértices em
e
; assíntotas com inclinações
passando por
; ramos aproximam-se dessas assíntotas enquanto
cresce.