Considere a equação da hipérbole \frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{4}=1. Determine:
3.a) o centro;
3.b) os eixos focal e não focal;
3.c) os vértices reais e imaginários;
3.d) os focos;
3.e) as equações das assíntotas;
3.f) O esboço da hipérbole.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida pela equação
\frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.
As perguntas são:
(a) determinar o centro;
(b) indicar os eixos focal e não focal (isto é, a reta do eixo transverso e a reta do eixo conjugado);
(c) encontrar os vértices reais e os vértices imaginários;
(d) encontrar os focos;
(e) obter as equações das assíntotas;
(f) fazer o esboço da hipérbole (instruções para desenhar).
Informações relevantes dadas: a equação já está na forma padrão de uma hipérbole centrada em (h,k), escrita como \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1, com os denominadores 9 e 4 visíveis. Não há outras informações externas.

Passo 2

Identificar o centro (h,k) e os parâmetros a^2 e b^2 a partir da forma dada.
Observa-se que a equação está na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
comparando com \dfrac{(x+1)^{2}}{9}-\dfrac{(y-2)^{2}}{4}=1 vemos que:
h=-1,\qquad k=2,
a^{2}=9,\qquad b^{2}=4.
Explicação curta do que isso significa: o termo (x-h)^2 mostra que a hipérbole está centrada no ponto (h,k); a e b são as “distâncias-padrão” que controlam a largura e a abertura: a=\sqrt{a^{2}} e b=\sqrt{b^{2}}.

Passo 3

Calcular a e b e interpretar a orientação da hipérbole.
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.
Porque o sinal positivo está no termo com (x-h)^2 (o primeiro termo), a hipérbole tem eixo transverso horizontal: os ramos abrem para a esquerda e para a direita ao longo da reta que passa pelo centro com a direção do eixo x. O eixo conjugado (não focal) é perpendicular a esse eixo transverso.

Passo 4

Determinar o centro e os eixos (resposta detalhada e motivada).
Centro: pelo passo anterior, o centro é o ponto
(h,k)=(-1,2).
Eixo focal (eixo transverso): é a reta que contém os vértices reais e os focos; como a hipérbole é horizontal, esse eixo é a reta horizontal que passa pelo centro:
\text{eixo focal: } y=2.
Eixo não focal (eixo conjugado): é a reta perpendicular ao eixo focal que passa pelo centro, ou seja, a reta vertical
\text{eixo não focal: } x=-1.ã
Explicação didática: o eixo focal é a direção ao longo da qual a hipérbole efetivamente cruza o eixo (tem interseções, os vértices); o eixo não focal é a direção perpendicular que define a “altura” do retângulo auxiliar usado para desenhar assíntotas.

Passo 5

Calcular os vértices reais (os pontos onde a hipérbole corta o eixo transverso).
Os vértices reais ficam distantes a do centro ao longo do eixo transverso (horizontal), portanto suas coordenadas são
(h\pm a,\,k)=(-1\pm 3,\,2).
Fazendo as somas:
-1+3=2\quad\text{e}\quad -1-3=-4.
Logo os vértices reais são os pontos
(2,2)\quad\text{e}\quad(-4,2).
Explicação: em prova, lembrar: para \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 os vértices têm a forma (h\pm a,k).

Passo 6

Calcular os “vértices imaginários” (explicação do que isso quer dizer e cálculo).
Muitas vezes chamam de “vértices imaginários” os pontos do eixo conjugado que estão a distância b do centro; eles não pertencem à hipérbole, mas aparecem no retângulo auxiliar/conjugado. Esses pontos têm coordenadas
(h,\,k\pm b)=(-1,\,2\pm 2).
Fazendo as operações:
2+2=4\quad\text{e}\quad 2-2=0.
Portanto os vértices imaginários são
(-1,4)\quad\text{e}\quad(-1,0).
Comentário didático: são “imaginários” no sentido de que a hipérbole não passa por eles; servem para construir o retângulo de semi-eixos a e b cujo vértices determinam as assíntotas.

Passo 7

Calcular os focos (usar a relação c^{2}=a^{2}+b^{2}).
Para hipérboles da forma \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 a distância do centro ao foco é dada por
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aqui
c^{2}=9+4=13,\qquad c=\sqrt{13}.
Como o eixo focal é horizontal, os focos são
(h\pm c,\,k)=(-1\pm\sqrt{13},\,2).
Se quisermos valores aproximados para desenhar, \sqrt{13}\approx 3{,}6055, então os focos aproximados são (-1+3{,}6055,2)\approx(2{,}6055,2) e (-1-3{,}6055,2)\approx(-4{,}6055,2).
Explicação: a fórmula c^{2}=a^{2}+b^{2} vem da relação geométrica entre os semi-eixos do retângulo auxiliar e a posição dos focos (triângulo retângulo envolvendo a, b e c).

Passo 8

Achar as assíntotas e mostrar o raciocínio.
Para a forma \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1, as assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm inclinação \pm \dfrac{b}{a}. Assim,
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Substituindo h=-1, k=2, a=3, b=2:
y-2=\pm\frac{2}{3}(x+1).
Se quiser escrever na forma explícita y=mx+c, desenvolvendo:
y=2+\frac{2}{3}(x+1)=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}
e
y=2-\frac{2}{3}(x+1)=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}.
Explicação didática: as assíntotas são obtidas fazendo a parte à direita tender a zero relativo à parte quadrática quando |x| fica muito grande, ou geométrica/algébrica via retângulo auxiliar: retas com inclinações \pm b/a passando pelo centro.

Passo 9

Como esboçar a hipérbole passo a passo (instruções práticas para desenhar sem calculadora).
  1. Marque o centro em (-1,2).
  2. Marque os vértices reais em (2,2) e (-4,2); estes são os pontos onde os ramos cortam o eixo horizontal.
  3. Marque os vértices “imaginários” em (-1,4) e (-1,0); com eles construa o retângulo auxiliar de lados 2a=6 horizontal e 2b=4 vertical centrado em (-1,2).
  4. Trace as diagonais desse retângulo: elas são as assíntotas. Ou trace as retas y-2=\pm\frac{2}{3}(x+1).
  5. Desenhe dois ramos da hipérbole que passam por (2,2) e (-4,2) e que se aproximam das assíntotas quando vão para |x| grandes; os ramos ficam à esquerda e à direita do centro, abrindo horizontalmente.
  6. Se quiser marcar os focos, coloque-os em (-1\pm\sqrt{13},2), aproximadamente em (2{,}606,2) e (-4{,}606,2); eles ficam fora do segmento entre os vértices e ajudam a conferir a curvatura.
Comentário motivacional: não precisa ser uma obra de arte — com o retângulo auxiliar e as assíntotas você consegue um esboço preciso o suficiente para a prova. Vai dar certo!

Resposta

(a) Centro: (-1,2)
(b) Eixo focal (transverso): y=2. Eixo não focal (conjugado): x=-1.
(c) Vértices reais: (2,2) e (-4,2). Vértices imaginários: (-1,4) e (-1,0).
(d) Focos: \bigl(-1\pm\sqrt{13},\,2\bigr) (aproximadamente (2{,}606,2) e (-4{,}606,2)).
(e) Assíntotas: y-2=\pm\dfrac{2}{3}(x+1) (equivalente a y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3} e y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}).
(f) Esboço: hipérbole com ramos horizontais centrada em (-1,2), vértices em (2,2) e (-4,2); assíntotas com inclinações \pm\frac{2}{3} passando por (-1,2); ramos aproximam-se dessas assíntotas enquanto |x| cresce.

Exercícios relacionados