Considere a circunferência de equação
e a reta de equação
. Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência (secante, tangente ou externa) e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá:
Pede-se determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência — ou seja, se a reta é secante (corta a circunferência em dois pontos), tangente (toca em exatamente um ponto) ou externa (não intersecta) — e justificar a resposta.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda): centro e raio da circunferência podem ser lidos da equação padrão e a reta pode ser escrita na forma .
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda): centro e raio da circunferência podem ser lidos da equação padrão e a reta pode ser escrita na forma
Passo 2
Escolha do método e explicação didática das opções:
- Método A (geométrico): calcular a distância do centro da circunferência até a reta. Se a distância
for menor que o raio , a reta é secante; se , é tangente; se , é externa. Esse método é direto e exige pouca álgebra. - Método B (algébrico): substituir
da reta na equação da circunferência e obter uma equação quadrática em . O número de soluções reais dessa quadrática (usando o discriminante) indica o número de pontos de interseção: duas soluções reais distintas secante; uma solução real dupla tangente; nenhuma solução real externa.
Vou usar o Método A (distância) porque é mais curto e conceitualmente simples, e depois mostro o Método B como verificação e treino.
Passo 3
Identificar o centro e o raio da circunferência e escrever a reta na forma
.
Da equação
Da equação
vemos diretamente que o centro é
e o raio é
. Ou seja,
A reta
escrevemos na forma padrão:
logo
,
,
.
Passo 4
Fórmula da distância ponto-reta (explicação didática):
A distância de um ponto à reta
é dada por
A distância de um ponto
Aqui
,
,
são os coeficientes da reta e
são as coordenadas do ponto. O numerador mede o valor absoluto da substituição do ponto na expressão da reta; o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal da reta.
Aplicando ao nosso caso com
e
,
,
:
Calcule o numerador:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Portanto
Passo 5
Comparação entre distância e raio e conclusão (razão matemática):
Queremos comparar com
. Temos
e
. Em vez de aproximar, compare os quadrados para evitar arredondamento:
Queremos comparar
Como
(de fato multiplicando por
:
), segue
. Quando a distância do centro à reta é menor que o raio, a reta corta a circunferência em dois pontos distintos. Logo, pela análise geométrica, a reta é secante da circunferência.
Passo 6
Verificação pelo Método B (substituição e discriminante) — passo a passo e didática sobre discriminante:
Substituímos em
. Primeiro calcule
:
Substituímos
Agora a equação da circunferência fica
Expandindo:
Somando:
Igualando a
:
Isto é uma equação quadrática padrão
com
,
,
. O discriminante é
Como
, a quadrática tem duas raízes reais distintas — isso corresponde a dois pontos de interseção entre reta e circunferência, ou seja, a reta é secante. (Observação didática: se
seria tangente; se
seria externa.)
Para completar, podemos achar as abscissas das interseções:
Logo
E os correspondentes
:
Os pontos de interseção são
e
, confirmando duas interseções.
Resposta
A reta é secante à circunferência.