Considere a circunferência de equação (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25 e a reta de equação y=2 x-3. Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência (secante, tangente ou externa) e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá:
\text{Circunferência: }(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25ê
\text{Reta: }y=2x-3
Pede-se determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência — ou seja, se a reta é secante (corta a circunferência em dois pontos), tangente (toca em exatamente um ponto) ou externa (não intersecta) — e justificar a resposta.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda): centro e raio da circunferência podem ser lidos da equação padrão e a reta pode ser escrita na forma ax+by+c=0.

Passo 2

Escolha do método e explicação didática das opções:
  • Método A (geométrico): calcular a distância do centro da circunferência até a reta. Se a distância d for menor que o raio r, a reta é secante; se d=r, é tangente; se d>r, é externa. Esse método é direto e exige pouca álgebra.
  • Método B (algébrico): substituir y da reta na equação da circunferência e obter uma equação quadrática em x. O número de soluções reais dessa quadrática (usando o discriminante) indica o número de pontos de interseção: duas soluções reais distintas \Rightarrow secante; uma solução real dupla \Rightarrow tangente; nenhuma solução real \Rightarrow externa.
Vou usar o Método A (distância) porque é mais curto e conceitualmente simples, e depois mostro o Método B como verificação e treino.

Passo 3

Identificar o centro e o raio da circunferência e escrever a reta na forma ax+by+c=0.
Da equação
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25
vemos diretamente que o centro é (2,-1) e o raio é 5. Ou seja,
\text{centro }C=(2,-1),\qquad r=5.
A reta y=2x-3 escrevemos na forma padrão:
2x-y-3=0,
logo a=2, b=-1, c=-3.

Passo 4

Fórmula da distância ponto-reta (explicação didática):
A distância de um ponto (x_{0},y_{0}) à reta ax+by+c=0 é dada por
d=\frac{|a x_{0}+b y_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aqui a, b, c são os coeficientes da reta e x_{0},y_{0} são as coordenadas do ponto. O numerador mede o valor absoluto da substituição do ponto na expressão da reta; o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal da reta.
Aplicando ao nosso caso com C=(2,-1) e a=2, b=-1, c=-3:
Calcule o numerador:
|a x_{0}+b y_{0}+c| = |2\cdot 2 + (-1)\cdot(-1) + (-3)| = |4 + 1 - 3| = |2| = 2.
Calcule o denominador:
\sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Portanto
d=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Comparação entre distância e raio e conclusão (razão matemática):
Queremos comparar d com r. Temos d=\dfrac{2}{\sqrt{5}} e r=5. Em vez de aproximar, compare os quadrados para evitar arredondamento:
d^{2}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}=\frac{4}{5},\qquad r^{2}=5^{2}=25.
Como \dfrac{4}{5}<25 (de fato multiplicando por 5: 4<125), segue d<r. Quando a distância do centro à reta é menor que o raio, a reta corta a circunferência em dois pontos distintos. Logo, pela análise geométrica, a reta é secante da circunferência.

Passo 6

Verificação pelo Método B (substituição e discriminante) — passo a passo e didática sobre discriminante:
Substituímos y=2x-3 em (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25. Primeiro calcule y+1:
y+1=(2x-3)+1=2x-2.
Agora a equação da circunferência fica
(x-2)^{2}+(2x-2)^{2}=25.
Expandindo:
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4,
(2x-2)^{2}=4x^{2}-8x+4.
Somando:
x^{2}-4x+4 + 4x^{2}-8x+4 = 5x^{2}-12x+8.
Igualando a 25:
5x^{2}-12x+8=25 \quad\Rightarrow\quad 5x^{2}-12x-17=0.
Isto é uma equação quadrática padrão A x^{2}+B x + C = 0 com A=5, B=-12, C=-17. O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = (-12)^{2}-4\cdot 5\cdot(-17)=144+340=484.
Como \Delta=484>0, a quadrática tem duas raízes reais distintas — isso corresponde a dois pontos de interseção entre reta e circunferência, ou seja, a reta é secante. (Observação didática: se \Delta=0 seria tangente; se \Delta<0 seria externa.)
Para completar, podemos achar as abscissas das interseções:
x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{12\pm 22}{10}.
Logo
x_{1}=\frac{34}{10}=\frac{17}{5},\qquad x_{2}=\frac{-10}{10}=-1.
E os correspondentes y:
y_{1}=2\cdot\frac{17}{5}-3=\frac{34}{5}-\frac{15}{5}=\frac{19}{5},\qquad y_{2}=2\cdot(-1)-3=-5.
Os pontos de interseção são \left(\dfrac{17}{5},\dfrac{19}{5}\right) e (-1,-5), confirmando duas interseções.

Resposta

A reta é secante à circunferência.

Exercícios relacionados