Classifique, por Cramer os sistemas:
\left\{\begin{aligned} x-y+z & =1 \\\\ -x+2 y-z & =0 \\\ x+z & =2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, segundo o critério de Cramer, o sistema
\begin{cases} x - y + z = 1,\\\\ -\,x + 2y - z = 0,\\\ x + z = 2. \end{cases}
O conteúdo é a aplicação da regra de Cramer, que diz que se \det(A)\neq0 o sistema tem solução única; se \det(A)=0 verificamos consistência para saber se há infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante.

Passo 3

\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-(-1)\cdot1=0,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-2\cdot1=-2.
Logo
\det(A)=1\cdot2 -(-1)\cdot0 +1\cdot(-2)=2-2=0.

Passo 4

Como \det(A)=0, não há solução única. Precisamos ver se o sistema é compatível ou não. Somando a primeira e a segunda equação:
(x - y + z)+(-x+2y -z)=1+0 \quad\Longrightarrow\quad y=1.
Substituindo em x - y + z=1 x+z=2, que é exatamente a terceira equação. Logo o sistema é compatível e tem infinitas soluções (um grau de liberdade entre x e z).

Resposta

O sistema é indeterminado (compatível com infinitas soluções).

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