Classifique, por Cramer os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y-z=4 \\\\ 3 x+4 y-2 z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, usando a regra de Cramer, se o sistema
\begin{cases} x+y-z=1,\\\\ 2x+3y-z=4,\\\\ 3x+4y-2z=2 \end{cases}
é determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução). Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes \det A e pelo menos um dos determinantes com coluna de constantes substituída.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 3 & 4 & -2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det A =1\cdot\begin{vmatrix}3 & -1\\\ 4 & -2\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 3 & 4\end{vmatrix}.
Agora expando cada menor:
\begin{vmatrix}3 & -1\\\ 4 & -2\end{vmatrix}=3\cdot(-2)-(-1)\cdot4=-6+4=-2,
\begin{vmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(-1)\cdot3=-4+3=-1,
\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 3 & 4\end{vmatrix}=2\cdot4-3\cdot3=8-9=-1.
Substituindo,
\det A =1\cdot(-2)-1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=-2+1+1=0.

Passo 3

Como \det A=0, não há solução única. Para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma, calculamos um determinante \det A_i com uma coluna substituída pelas constantes. Se algum \det A_i\neq0, o sistema é incompatível.

Passo 4

Substituímos a primeira coluna por (1,4,2) para obter
A_x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 4 & 3 & -1\\\\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix},
e calculamos
\det A_x =1\cdot\begin{vmatrix}3 & -1\\\ 4 & -2\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}4 & -1\\\ 2 & -2\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}4 & 3\\\ 2 & 4\end{vmatrix}.
Os menores valem
\begin{vmatrix}3 & -1\\\ 4 & -2\end{vmatrix}=-2,\quad \begin{vmatrix}4 & -1\\\ 2 & -2\end{vmatrix}=4\cdot(-2)-(-1)\cdot2=-8+2=-6,
\begin{vmatrix}4 & 3\\\ 2 & 4\end{vmatrix}=4\cdot4-3\cdot2=16-6=10.
Logo
\det A_x =1\cdot(-2)-1\cdot(-6)+(-1)\cdot10=-2+6-10=-6\neq0.

Passo 5

Como \det A=0 e \det A_x\neq0, pelo critério de Cramer o sistema é incompatível, ou seja, não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução).

Exercícios relacionados