Classifique, por Cramer os sistemas:
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =3 \\\ x-y+z & =2 \\\\ 2 x+y-z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\ x - y + z = 2,\\\\ 2x + y - z = 0, \end{cases}
e pede para classificá-lo pelo critério de Cramer. O conteúdo aqui é álgebra linear: mais precisamente, usar determinantes para ver se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos \det(A). Usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =(-1)(-1)-1\cdot1=1-1=0,
\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot2=-1-2=-3,
\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&1\end{pmatrix} =1\cdot1-(-1)\cdot2=1+2=3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot0 -1\cdot(-3) +1\cdot3 =0+3+3=6.

Passo 3

Como \det(A)=6\neq0, pelo critério de Cramer o sistema é compatível determinado, ou seja, tem exatamente uma solução.

Resposta

O sistema é compatível determinado.

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