Resolva as equações:
\left|\begin{array}{ccc}x & 1 & 2 x \x+2 & -x & 8 \\\ 3 & 2 & 6\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} x & 1 & 2x \\\ x+2 & -x & 8 \\\\ 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}
seja zero.
Conteúdo: determinante de matriz 3\times3 e solução de equação polinomial em x.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3: se
\displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).

Passo 3

Identificamos
a_{11}=x,\quad a_{12}=1,\quad a_{13}=2x,
a_{21}=x+2,\quad a_{22}=-x,\quad a_{23}=8,
a_{31}=3,\quad a_{32}=2,\quad a_{33}=6.
Calculamos os três menores:
M_1 = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} =(-x)\cdot6 - 8\cdot2 = -6x - 16,
M_2 = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} =(x+2)\cdot6 - 8\cdot3 =6x +12 - 24 =6x - 12,
M_3 = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} =(x+2)\cdot2 - (-x)\cdot3 =2x +4 +3x =5x + 4.

Passo 4

Substituindo na fórmula do determinante,
\det = x\,(M_1)\;-\;1\,(M_2)\;+\;2x\,(M_3).
Logo,
\det = x(-6x -16)\;-\;(6x -12)\;+\;2x(5x+4).
Expandindo e agrupando termos:
\det = -6x^2 -16x -6x +12 +10x^2 +8x =4x^2 -14x +12.
Queremos \det=0, então obtemos a equação polinomial
4x^2 -14x +12 = 0.

Passo 5

Para resolver
4x^2 -14x +12 = 0
podemos dividir tudo por 2:
2x^2 -7x +6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-7)^2 - 4\cdot2\cdot6 =49 - 48 =1.
As raízes são
x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2\cdot2} = \frac{7 \pm 1}{4},
ou seja,
x = \frac{8}{4} = 2 \quad\text{ou}\quad x = \frac{6}{4} = \tfrac{3}{2}.

Resposta

x = 2 ou x = \tfrac{3}{2}.

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