Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}x-y+z=2 \\ y-z+t=1 \\ x+z-t=4 \\\ -x+y+t=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,t)\): \[\begin{cases} x - y + z = 2,\\\ \;y - z + t = 1,\\\ x \;+\; z - t = 4,\\\\ -\,x + y + t = -1. \end{cases}
O método a usar é a Regra de Cramer, que exige calcular o determinante da matriz de coeficientes A\] e os determinantes \(D_x,D_y,D_z,D_t obtidos substituindo em A a coluna correspondente pela coluna de termos independentes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor coluna b:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & -1\\\\ -1& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot M_{11} -(-1)\cdot M_{12} +1\cdot M_{13},
onde, por exemplo,
M_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=1,\quad M_{12}=1,\quad M_{13}=1.
Logo
\det(A)=1 + 1 + 1 = 3.

Passo 4

Substituímos a primeira coluna de A por b para obter D_x:
A_x = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 4 & 0 & 1 & -1\\\\ -1& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad D_x = \det(A_x) = 9.

Passo 5

Para y substituímos a segunda coluna de A por b:
A_y = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 4 & 1 & -1\\\\ -1& -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad D_y = \det(A_y) = 6.

Passo 6

Para z substituímos a terceira coluna:
A_z = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 4 & -1\\\\ -1& 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad D_z = \det(A_z) = 3.

Passo 7

Finalmente, para t substituímos a quarta coluna:
A_t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 4\\\\ -1& 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad D_t = \det(A_t) = 0.

Passo 8

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{\det(A)} = \frac{9}{3} = 3,\quad y = \frac{D_y}{\det(A)} = \frac{6}{3} = 2,\quad z = \frac{D_z}{\det(A)} = \frac{3}{3} = 1,\quad t = \frac{D_t}{\det(A)} = \frac{0}{3} = 0.

Resposta

x=3,\\ y=2,\\ z=1,\\ t=0.

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