Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}2 x-y-z=10 \\ x-2 y-z=4 \\ x-y-2 z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pela Regra de Cramer, o sistema linear
\begin{cases} 2x - y - z = 10,\\\ x - 2y - z = 4,\\\ x - y - 2z = 6. \end{cases}
O conteúdo necessário é o cálculo de determinantes de ordem 3: primeiro o determinante da matriz de coeficientes e depois os determinantes obtidos ao substituir cada coluna pelo vetor dos termos independentes. A partir daí obtemos
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

Determinante principal da matriz de coeficientes:
D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} =2\cdot(-2)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot(-1) -\bigl[(-1)\cdot(-2)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot2+(-2)\cdot1\cdot(-1)\bigr] =10-6=4.

Passo 3

Determinante D_x (substituindo a primeira coluna por (10,4,6)):
D_x = \begin{vmatrix} 10 & -1 & -1\\\\ 4 & -2 & -1\\\\ 6 & -1 & -2 \end{vmatrix} =10\cdot(-2)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)\cdot6+(-1)\cdot4\cdot(-1) -\bigl[(-1)\cdot(-2)\cdot6+(-1)\cdot4\cdot10+(-2)\cdot6\cdot(-1)\bigr] =50-30=20.
Logo,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{20}{4} = 5.

Passo 4

Determinante D_y (substituindo a segunda coluna por (10,4,6)):
D_y = \begin{vmatrix} 2 & 10 & -1\\\\ 1 & 4 & -1\\\\ 1 & 6 & -2 \end{vmatrix} =2\cdot4\cdot(-2)+10\cdot(-1)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot6 -\bigl[(-1)\cdot4\cdot1+(-1)\cdot1\cdot2+(-2)\cdot1\cdot10\bigr] =-32-(-36)=4.
Logo,
y = \frac{D_y}{D} = \frac{4}{4} = 1.

Passo 5

Determinante D_z (substituindo a terceira coluna por (10,4,6)):
D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 10\\\\ 1 & -2 & 4\\\\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix} =2\cdot(-2)\cdot6+(-1)\cdot4\cdot1+10\cdot1\cdot(-1) -\bigl[10\cdot(-2)\cdot1+(-1)\cdot1\cdot2+6\cdot1\cdot(-1)\bigr] =-38-(-34)=-4.
Logo,
z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{4} = -1.

Resposta

x = 5
y = 1
z = -1

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