Verifique se o subconjunto abaixo
\left\{v_{1}=(1,2,-3), v_{2}=(3,0,1), v_{3}=(1,-5,-3)\right\}
é LI ou LD? Justifique a sua resposta

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\;v_{1}=(1,2,-3),\;v_{2}=(3,0,1),\;v_{3}=(1,-5,-3)\; em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Em \mathbb{R}^3, um critério eficiente é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante: se \det\neq0, então o conjunto é LI; se \det=0, é LD.

Passo 2

Montamos a matriz A com colunas v_{1},v_{2},v_{3}:
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & -5 \\\\ -3 & 1 & -3 \end{pmatrix}
Para calcular \det(A) pela regra de Sarrus, somamos os produtos das três diagonais principais e subtraímos os produtos das três diagonais secundárias:
No sentido que soma:
1\cdot0\cdot(-3)=0,
3\cdot(-5)\cdot(-3)=45,
1\cdot2\cdot1=2.
No sentido que subtrai:
1\cdot0\cdot1=0,
1\cdot(-5)\cdot1=-5,
3\cdot2\cdot(-3)=-18.
Portanto,
\det(A) = (0 + 45 + 2) \;-\; (0 + (-5) + (-18)) \;=\; 47 - (-23) \;=\; 70.

Passo 3

Como \det(A)=70\neq0, a única combinação linear que zera os vetores é a trivial. Logo, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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