Classifique a descontinuidade de
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \\\\ 5, & x=2\end{cases}
Solução. Para x \neq 2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 .
Assim,
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)=4
Mas
f(2)=5
O limite existe e é finito, mas é diferente do valor da função no ponto. Portanto, a descontinuidade é removível. Bastaria redefinir f(2)=4 para tornar a função contínua em x=2.
\text { descontinuidade removível em } x=2 \text {. }í

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \\[6pt] 5, & x=2\end{cases}
Pergunta-se explicitamente: classificar a descontinuidade em x=2.
Informações úteis que o enunciado dá:
  • Para x\neq2 a fórmula é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor da função no ponto é f(2)=5.
  • O ponto x=2 é especial porque a expressão para x\neq2 tem denominador x-2, que anula em x=2.]

Passo 2

Lembrete (definições importantes, explicado passo a passo):
  • Dizemos que f é contínua em x=a se e somente se os três itens se verificarem:
    1. f(a) está definido;
    2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (ou seja, limites à esquerda e à direita existem e coincidem);
    3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Se algum desses itens falhar, há uma descontinuidade em a. Tipos comuns:
    • Descontinuidade removível: o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas é diferente de f(a) ou f(a) não está definido. Pode-se “remover” a descontinuidade redefinindo f(a) igual ao limite.
    • Descontinuidade por salto (jump): os limites laterais existem porém são diferentes (limite à esquerda \neq limite à direita).
    • Descontinuidade essencial / infinita: o limite não existe porque tende a \pm\infty ou oscila sem limite finito.
Vamos aplicar essas ideias ao caso x=2.

Passo 3

Calcule o comportamento de f(x) quando x\neq2 por manipulação algébrica:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como estamos considerando x\neq2, podemos cancelar o fator (x-2) sem dividir por zero. Assim, para todo x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2.
Observação: essa simplificação vale apenas para x\neq2. Em x=2 a expressão original \dfrac{x^{2}-4}{x-2} não está definida (forma 0/0), por isso o enunciado deu explicitamente f(2)=5.

Passo 4

Calcule o limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x). Como para x\neq2 temos f(x)=x+2, segue que
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x+2).
Explicando por que é válido: x+2 é um polinômio (função contínua em todos os reais), então o limite pode ser obtido substituindo x=2. Assim
\lim_{x\to 2} (x+2)=2+2=4.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=4. Note que os limites laterais coincidem (ambos valem 4), logo o limite existe e é finito.

Passo 5

Compare o limite com o valor da função no ponto:
  • Encontramos \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=4.
  • O enunciado dá f(2)=5.
Como o limite existe e é finito, mas \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)\neq f(2), os três requisitos de continuidade não se satisfazem (o terceiro falha). Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo removível: a “falha” é apenas que o valor em 2 não coincide com o valor natural que a função aproximaria.

Passo 6

Explique de forma prática como “remover” a descontinuidade (isso ajuda a entender o conceito na prova):
  • Se redefinirmos f\) no ponto \(x=2\) para que \(f(2)=4\), ou seja, definirmos a nova função \[\tilde f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & x\neq2,\\[6pt] 4, & x=2,\end{cases}então teremos \displaystyle \lim_{x\to 2}\tilde f(x)=4=\tilde f(2)\], e a função passa a ser contínua em \(x=2.
  • Esse é o sentido de “removível”: a descontinuidade é apenas um valor mal atribuído (ou ausente) em um ponto; corrigindo o valor, a continuidade é restaurada.]

Passo 7

Contraste rápido com outros tipos (para fixar):
  • Exemplo de salto: g(x)=\begin{cases}1,&x<0,\\[2pt]2,&x\ge0\end{cases}. Aqui \lim_{x\to0^-}g(x)=1 e \lim_{x\to0^+}g(x)=2; limites laterais diferentes ⇒ descontinuidade por salto.
  • Exemplo de descontinuidade infinita: h(x)=1/x em x=0. Os limites laterais não são finitos (tendem a \pm\infty), logo não é removível.]

Resposta

Descontinuidade removível em x=2.

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