Sejam B=(1 ; 0),(0 ; 1) e C=(-1 ; 1),(1 ; 1) bases de R^2. Encontre a matriz de mudança da base B para a base C

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2: a base B=(1,0),(0,1) (que é a base canônica) e a base C=(-1,1),(1,1). Queremos encontrar a matriz de mudança de coordenadas que leva as coordenadas de um vetor em relação à base B para as coordenadas desse mesmo vetor em relação à base C.

Passo 2

Para isso, basta expressar os vetores de
Isso dá o sistema
Resolvendo, obtemos . Logo, em coordenadas de ,
]

Passo 3

Agora expressamos
e2 = (0,1) = c,(-1,1) + d,(1,1),
o que leva ao sistema
-,c + d = 0, c + d = 1
Dessa forma c=d=tfrac12, e
[e2]C = tfrac12[6pt]tfrac12 ]

Passo 4

A matriz de mudança de base de B para C tem como colunas justamente [e1]C e [e2]C. Logo,
PC B = -tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & tfrac12 ]

Resposta

PC B = -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12

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