Verifique quais dos Operadores Lineares abaixo são isomorfismo. Em todos eles encontre uma base para a imagem e para o núcleo.
A(x, y)=(2 x+2 y, x+y);

Passo 1

O enunciado define o operador linear por
O que precisamos fazer é verificar se é um isomorfismo (isto é, bijetivo/invertível) e encontrar uma base para a imagem e para o núcleo . Vamos usar a matriz de na base canônica de .

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de A é
[A] = 2 & 2 1 & 1 ,
cuja determinante é
det([A]) = 2cdot1 - 2cdot1 = 0

Passo 3

Como det([A])=0, o operador A não é invertível. Logo, A não é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar , basta olhar para as colunas de : são e . Portanto
e uma base conveniente é .

Passo 5

Para encontrar
Ambas dão . Assim
e uma base para o núcleo é .

Resposta

O operador não é isomorfismo.
Base de : .
Base de : .

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