Verifique quais dos Operadores Lineares abaixo são isomorfismo. Em todos eles encontre uma base para a imagem e para o núcleo. ;
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
O que precisamos fazer é verificar se é um isomorfismo (isto é, bijetivo/invertível) e encontrar uma base para a imagem e para o núcleo . Vamos usar a matriz de na base canônica de .
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é
cuja determinante é
det([A]) = 2cdot1 - 2cdot1 = 0
Passo 3
Como det([A])=0, o operador A não é invertível. Logo, A não é um isomorfismo.
Passo 4
Para achar , basta olhar para as colunas de : são e . Portanto
e uma base conveniente é .
Passo 5
Para encontrar
Ambas dão . Assim
e uma base para o núcleo é .
Resposta
O operador não é isomorfismo.
Base de : .
Base de : .