Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{array}{r}x+2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y+3 z=0 \\\\ 3 x+2 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar (compatível/incompatível e número de soluções) e achar o conjunto– solução do sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0,\\\\ 3x + 2y + z = 0. \end{cases}
O conteúdo usado será a teoria de sistemas lineares homogêneos e classificação via determinante (ou posto da matriz).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos constantes \mathbf b:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\bigl(1\cdot1 - 3\cdot2\bigr) -2\cdot\bigl(2\cdot1 - 3\cdot3\bigr) +3\cdot\bigl(2\cdot2 - 1\cdot3\bigr) =-5 -2(-7)+3(1) =-5+14+3 =12.
Como \det(A)=12\neq0, o posto de A é 3.

Passo 4

Para um sistema homogêneo com 3 incógnitas e posto igual a 3, temos exatamente uma solução (a solução trivial). Portanto o sistema é compatível determinado.

Resposta

O sistema é compatível determinado e a única solução é
(x,y,z) = (0,0,0).

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