(integral indefinida)
\int \frac{3 x}{\sqrt{1-3 x^{2}}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x^{2}}}\,dx.
O conteúdo envolve reconhecimento de uma substituição que simplifica radicais do tipo \sqrt{a+bx^{2}}.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 1 - 3x^{2}.
Calculando o diferencial, temos
du = -6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 3x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x^{2}}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du.
Integramos u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12}.
Logo a integral vira
-\tfrac{1}{2}\cdot 2u^{\tfrac12} + C = -\sqrt{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = 1-3x^{2}. Portanto a antiderivada é
-\sqrt{1-3x^{2}} + C.

Resposta

-\sqrt{1-3x^{2}} + C.

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