Represente z na forma exponencial sabendo que z=(i3-i)-2(i2+3 i)^-1 e calcule Re(z+1) e Im(z+i)

Passo 1

O enunciado nos dá
z=i3 - i;-;2l(i2 + 3ir)^-1
e pede dois resultados:
  1. Representar z na forma exponencial (módulo e argumento).
  2. Calcular Re(z+1) e Im(z+i).
    O conteúdo envolvido é manipulação de números complexos (conjugado e inverso) e conversão para forma polar/exponencial.

Passo 2

Calcular a primeira parcela dfraci3 - i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 3 - i:
i3 - i = i,(3 + i)(3 - i)(3 + i) = 3i + i^23^2 + 1^2 = 3i - 110 = -110 + 310i

Passo 3

Calcular o inverso da segunda parcela l(tfraci2 + 3ir)^-1. Primeiro:
i2 + 3i,
seu inverso é
l(i2 + 3ir)^-1 = 2 + 3ii = 2cdot1i + 3icdot1i = -2i + 3 = 3 - 2i
Multiplicando por -2 obtemos
-2,(3 - 2i) = -6 + 4i

Passo 4

Somar as duas parcelas para obter :
Agora calcular módulo e argumento:
Logo a forma exponencial é

Passo 5

Calcular as partes real e imaginária requeridas:
Re(z + 1) = Rel(-6110 + 4310i + 1r) = -6110 + 1 = -5110,
Im(z + i) = Iml(-6110 + 4310i + ir) = 4310 + 1 = 5310

Resposta

A forma exponencial de z é
z = raiz557010,e^,il(pi - arctan(tfrac4361)r)
Além disso,
Re(z + 1) = -5110, Im(z + i) = 5310

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