Classifique as EDOs abaixo quanto a sua ordem e linearidade
(1-t) y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+5 y=\cos (t)

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação diferencial ordinária quanto à sua ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
(1-t)\,y''-4t\,y'+5y=\cos(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve as derivadas y'' e y' e a função y.
  • O termo do lado direito é \cos(t).
  • Os coeficientes multiplicando y'',y',y são funções de t: 1-t, -4t e 5.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (explicação didática):
  • A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplo simples: na equação y''+3y'=0 a maior derivada é y'', então a ordem é 2.
Aplicando ao nosso caso:
  • Na equação dada aparece y'' (segunda derivada) e y' (primeira derivada).
  • Logo a ordem da equação é 2.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO (explicação didática e fórmula padrão):
  • Uma EDO é linear se y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem somente da variável independente (aqui t), e aparecem na primeira potência (sem produtos entre y e suas derivadas, sem y^2, \sin(y), (y')^2, etc.).
  • A forma linear geral de ordem n é
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde cada a_k(t) e g(t) dependem apenas de t.
  • Exemplos de equações não-lineares: y''+(y')^2=0 (pois (y')^2 é não linear em y'); y''+y\,y'=0 (produto y\,y' é não linear).

Passo 4

Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
  • Podemos identificar os coeficientes associados às derivadas: a_2(t)=1-t,\qquad a_1(t)=-4t,\qquad a_0(t)=5,e o termo do lado direito é g(t)=\cos(t).
  • Não há termos como y^2, y\,y', (y')^2 ou funções não-lineares de y. Todos os termos com y e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de t.
  • Portanto, a equação é linear.
Observação adicional útil para a prova (não altera a linearidade):
  • Pode-se escrever a equação na forma padrão dividindo por 1-t (válido para t\neq1): y''+\frac{-4t}{1-t}\,y'+\frac{5}{1-t}\,y=\frac{\cos(t)}{1-t}.Isso mostra explicitamente os coeficientes p(t)=\dfrac{-4t}{1-t} e q(t)=\dfrac{5}{1-t} e o termo não-homogêneo \dfrac{\cos(t)}{1-t}. Note que em t=1 há uma singularidade ao colocar na forma padrão, ou seja, a divisão pelos coeficientes exige cuidado com o domínio.

Passo 5

Classificações complementares (para fixar):
  • A equação é de segunda ordem (porque o termo de maior derivada é y'').
  • É linear e não homogênea (porque o lado direito g(t)=\cos(t) é diferente de zero).
  • Os coeficientes dependem de t (coeficientes não constantes), então é uma EDO linear de coeficientes variáveis.
  • Lembrar na prova: para verificar linearidade, basta checar que y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e sem produtos entre si.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear de 2^{\text{a}} ordem, não homogênea (coeficientes dependem de t).

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