Classifique as EDOs abaixo quanto a sua ordem e linearidade
(1-t) y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+5 y=\cos (t)
(1-t) y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+5 y=\cos (t)
Passo 1
O enunciado pede que se classifique a equação diferencial ordinária quanto à sua ordem e quanto à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve as derivadas
e e a função . - O termo do lado direito é
. - Os coeficientes multiplicando
são funções de : , e .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (explicação didática):
- A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo simples: na equação
a maior derivada é , então a ordem é .
Aplicando ao nosso caso:
- Na equação dada aparece
(segunda derivada) e (primeira derivada). - Logo a ordem da equação é
.
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO (explicação didática e fórmula padrão):
- Uma EDO é linear se
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem somente da variável independente (aqui ), e aparecem na primeira potência (sem produtos entre e suas derivadas, sem , , , etc.). - A forma linear geral de ordem
é
onde cada
e
dependem apenas de
.
- Exemplos de equações não-lineares:
(pois é não linear em ); (produto é não linear).
Passo 4
Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
- Podemos identificar os coeficientes associados às derivadas:
e o termo do lado direito é . - Não há termos como
, , ou funções não-lineares de . Todos os termos com e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de . - Portanto, a equação é linear.
Observação adicional útil para a prova (não altera a linearidade):
- Pode-se escrever a equação na forma padrão dividindo por
(válido para ): Isso mostra explicitamente os coeficientes e e o termo não-homogêneo . Note que em há uma singularidade ao colocar na forma padrão, ou seja, a divisão pelos coeficientes exige cuidado com o domínio.
Passo 5
Classificações complementares (para fixar):
- A equação é de segunda ordem (porque o termo de maior derivada é
). - É linear e não homogênea (porque o lado direito
é diferente de zero). - Os coeficientes dependem de
(coeficientes não constantes), então é uma EDO linear de coeficientes variáveis. - Lembrar na prova: para verificar linearidade, basta checar que
e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e sem produtos entre si.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear de ordem, não homogênea (coeficientes dependem de
).
Linearidade: linear de