classifique as EDO’s dadas abaixo.
\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d y}{d x}\right]-q(x) y+\lambda r(x) y=0, \lambda constante

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,\frac{dy}{dx}\bigr]\;-\,q(x)\,y\;+\;\lambda\,r(x)\,y\;=\;0,
onde p(x), q(x) e r(x) são funções de x e \lambda é constante.
O conteúdo é teoria de equações diferenciais ordinárias (EDO): identificação de ordem, linearidade, homogeneidade, tipo de coeficientes e forma especial (autoadjunta/Sturm–Liouville).

Passo 2

Determine a ordem da EDO.
Ao expandir
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,y'\bigr]
obtemos termos envolvendo y''. Portanto é uma EDO de segunda ordem.

Passo 3

Verifique a linearidade.
A equação envolve y, y' e y'' apenas em combinação linear, sem produtos ou funções não lineares de y. Logo é uma EDO linear.

Passo 4

Verifique se é homogênea ou não.
O lado direito é zero e não aparece termo isolado sem y. Logo é uma EDO homogênea.

Passo 5

Identifique o tipo de coeficientes.
Os coeficientes p(x), q(x) e r(x) dependem de x. Logo são coeficientes variáveis.

Passo 6

Reconheça a forma especial.
A equação está escrita em forma autoadjunta
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,y'\bigr]+(\lambda\,r(x)-q(x))\,y=0,
que é exatamente a forma canônica de um problema de Sturm–Liouville.

Resposta

A EDO é de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes variáveis, e está na forma autoadjunta (Sturm–Liouville).

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