Classifique as EDO’s de primeira ordem abaixo determinando cada uma delas como linear ou nảo-linear, separável ou não-separável, exata ou não-exata, justificando sua resposta:
(x^3 e^x y+x^3) y^prime+(x^2 y-x) e^x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
l(x^3e^xy+x^3r),y' ;+;l(x^2y - xr)e^xy=0
e pede para classificá-la como (i) linear ou não-linear, (ii) separável ou não-separável, (iii) exata ou não-exata.
Para isso, precisamos usar:
– Uma EDO é linear em y se puder ser posta na forma
y' + P(x),y = Q(x)
– É separável se puder ser escrita como
f(y),dy = g(x),dx
– Escrevendo-a em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
ela é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Colocamos em forma explícita para y':
l(x^3e^xy+x^3r),y' = -l(x^2y - xr)e^xy Longrightarrow y' = -(x^2y - x)e^xyx^3(e^xy+1)
Repare que o coeficiente de y não fica como uma função de x apenas, mas envolve o próprio y (fica dentro de e^xy). Logo não podemos escrever a equação na forma y'+P(x),y=Q(x).
Portanto a EDO é não-linear.

Passo 3

A equação em forma de separação seria
y' = H(x),G(y)
Aqui temos
y' = -(x^2y - x)e^xyx^3(e^xy+1)
que mistura x e y de modo não factorizável em H(x)cdot G(y). Não há como reorganizar em f(y),dy = g(x),dx.
Logo a EDO é não-separável.

Passo 4

Reescrevendo em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
temos
M(x,y) = (x^2y - x),e^xy, N(x,y) = x^3l(e^xy+1r)
Calculamos
partial Mpartial y = e^xy,x^2 ;+; (x^2y - x),e^xy,x = x^3y,e^xy,
partial Npartial x = ddxl[x^3e^xyr] ;+; ddx[x^3] = e^xy(3x^2+x^3y) + 3x^2
Como
partial Mpartial y = x^3y,e^xy neq e^xy(3x^2+x^3y) + 3x^2 = partial Npartial x,
não satisfaz a condição de exatidão.
Portanto a EDO é não-exata.

Resposta

A EDO é
– não-linear;
– não-separável;
– não-exata.

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