Sejam a, b in Z tais que mdc(a, b)=1. Mostre que:
m d c(a+b, a^2-a b+b^2)=1 ou 3 .

Passo 1

Resumindo: temos a,binZ com mdc(a,b)=1 e queremos calcular
mdcl(a+b,;a^2 - ab + b^2r)
O conteúdo envolve o Algoritmo de Euclides e propriedades de divisibilidade em inteiros.

Passo 2

Observe que
(a+b)^2 - 3ab = a^2 + 2ab + b^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2
Pelo Algoritmo de Euclides,
mdcl(a+b,;a^2 - ab + b^2r) =mdcl(a+b,;(a+b)^2 - 3abr) =mdcl(a+b,;-3abr) =mdcl(a+b,;3abr)

Passo 3

Como mdc(a,b)=1, qualquer divisor comum a a+b e ab teria que dividir a ou b, forçando-o a dividir mdc(a,b)=1. Logo
mdcl(a+b,;abr)=1

Passo 4

Logo, todo divisor comum a a+b e a 3ab não pode vir de ab e deve dividir apenas 3. Em símbolos,
mdcl(a+b,;3abr) =mdcl(a+b,;3r)

Passo 5

Os únicos divisores de 3 são 1 e 3. Portanto
mdcl(a+b,;a^2-ab+b^2r) ;=;mdcl(a+b,;3r) ;in;1,,3

Resposta

mdc(a+b,,a^2-ab+b^2) é igual a 1 ou a 3.

Exercícios relacionados