Questão 5 (2,0 pts). Seja C a semicircunferência de centro na origem, raio 3, que se encontra acima do eixo x e parametrizada no sentido anti-horário. Calcule integralC 2 x y d x+x^2 y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC2xy,dx + x^2y,dy
sobre a semicircunferência C de centro na origem, raio 3, acima do eixo x, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo é parametrizar a curva e substituir em P,dx+Q,dy, com P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2y.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=3cos t, y=3sin t, tin[0,pi]
Daí
dx = -3sin t,dt, dy = 3cos t,dt

Passo 3

Substituindo em
integralC2xy,dx + x^2y,dy = integral0^pil[2,(3cos t)(3sin t)(-3sin t) + (3cos t)^2(3sin t)(3cos t)r]dt
Em seguida, o integrando fica
-54cos t,sin^2 t ;+;81cos^3 t,sin t

Passo 4

Observe que
-54cos t,sin^2 t +81cos^3 t,sin t =27cos t,sin t,(3cos^2 t -2sin t),
e essa função de t é exatamente a derivada de
H(t)=814sin^2 t ;-;18sin t,
pois
H'(t) =812sin tcos t -18cos t =-54cos t,sin^2 t +81cos^3 t,sin t
Logo
integral0^piH'(t),dt =H(pi)-H(0) =l(tfrac814cdot0 -18cdot0r) -l(tfrac814cdot0 -18cdot0r) =0

Resposta

0

Exercícios relacionados