Sejam
tais que
. Mostre que:
.
Passo 1
O exercício dá dois inteiros
com
e pede para mostrar que
. Vamos usar teorias de máximo divisor comum e propriedades de combinações lineares para resolver.
Passo 2
Lembramos que para quaisquer inteiros
vale a propriedade
. Isso acontece porque subtrair múltiplos não muda o conjunto de divisores comuns.
Passo 3
Aplicamos essa propriedade com
,
e
. Calculamos
Passo 4
[a2+ab+b2; -; b(a+b) ;=; a2+ab+b2 - ab - b^2 ;=; a^2.]
Passo 5
Logo,
Passo 6
[\mathrm{mdc}(a+b,,a2+ab+b2) = \mathrm{mdc}(a+b,,a^2).]
Passo 7
Agora, se um primo
divide
e também divide
, então
divide
. Mas se
divide
e
, então
divide
. Isso implica que
divide
, ou seja,
divide 1. Logo não existe primo divisor comum não-trivial.
Passo 8
Portanto, o único divisor comum de
e
é 1, ou seja,
Passo 9
[\mathrm{mdc}(a+b,,a^2)=1,]
Passo 10
e concluímos que
.
Resposta
1