Sejam a, b in Z tais que mdc(a, b)=1. Mostre que:
m d c(a+b, a^2+a b+b^2)=1.

Passo 1

O exercício dá dois inteiros a, b com mdc(a,b)=1 e pede para mostrar que mdc(a+b,,a^2+ab+b^2)=1. Vamos usar teorias de máximo divisor comum e propriedades de combinações lineares para resolver.

Passo 2

Lembramos que para quaisquer inteiros x,y,k vale a propriedade mdc(x,y)=mdc(x,y-kx). Isso acontece porque subtrair múltiplos não muda o conjunto de divisores comuns.

Passo 3

Aplicamos essa propriedade com x=a+b, y=a^2+ab+b^2 e k=b. Calculamos

Passo 4

[a2+ab+b2; -; b(a+b) ;=; a2+ab+b2 - ab - b^2 ;=; a^2.]

Passo 5

Logo,

Passo 6

[\mathrm{mdc}(a+b,,a2+ab+b2) = \mathrm{mdc}(a+b,,a^2).]

Passo 7

Agora, se um primo p divide a+b e também divide a^2, então p divide a. Mas se p divide a+b e a, então p divide b. Isso implica que p divide mdc(a,b), ou seja, p divide 1. Logo não existe primo divisor comum não-trivial.

Passo 8

Portanto, o único divisor comum de a+b e a^2 é 1, ou seja,

Passo 9

[\mathrm{mdc}(a+b,,a^2)=1,]

Passo 10

e concluímos que mdc(a+b,,a^2+ab+b^2)=1.

Resposta

1

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