Classifique as EDO’s de primeira ordem abaixo determinando cada uma delas como linear ou nảo-linear, separável ou não-separável, exata ou não-exata, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
e pede para classificá-la em três aspectos:
– linear ou não-linear,
– separável ou não-separável,
– exata ou não-exata.
Vamos usar as definições:
– linear ou não-linear,
– separável ou não-separável,
– exata ou não-exata.
Vamos usar as definições:
- Uma EDO é linear se pode ser escrita em
. - É separável se
. - É exata se, ao escrever
, vale .
Passo 2
Verificação de linearidade:
Colocando em forma explícita de derivada,
Colocando em forma explícita de derivada,
No membro direito aparece
, que é não-linear em
. Logo a EDO não é linear.
Passo 3
Verificação de separabilidade:
Temos
Temos
Para ser separável precisaríamos escrever
, mas esse quociente mistura
e
de forma inseparável. Portanto não é separável.
Passo 4
Verificação de exatidão:
Reescrevemos como
Reescrevemos como
onde
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Resposta
A EDO é não-linear, não-separável e exata.