Classifique as EDO’s de primeira ordem abaixo determinando cada uma delas como linear ou nảo-linear, separável ou não-separável, exata ou não-exata, justificando sua resposta:
y^2+6 x y+(3 x^2+2 x y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
y^2+6xy+l(3x^2+2xyr),y'=0
e pede para classificá-la em três aspectos:
– linear ou não-linear,
– separável ou não-separável,
– exata ou não-exata.
Vamos usar as definições:
  1. Uma EDO é linear se pode ser escrita em ,y'+P(x),y=Q(x).
  2. É separável se dfracdydx=f(x),g(y).
  3. É exata se, ao escrever M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, vale partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Verificação de linearidade:
Colocando em forma explícita de derivada,
(3x^2+2xy),dydx=-l(y^2+6xyr) Longrightarrow dydx=-y^2+6xy3x^2+2xy
No membro direito aparece y^2, que é não-linear em y. Logo a EDO não é linear.

Passo 3

Verificação de separabilidade:
Temos
dydx=-y^2+6xy3x^2+2xy =-y(y+6x)x(3x+2y)
Para ser separável precisaríamos escrever dydx=f(x),g(y), mas esse quociente mistura x e y de forma inseparável. Portanto não é separável.

Passo 4

Verificação de exatidão:
Reescrevemos como
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
onde
M(x,y)=y^2+6xy, N(x,y)=3x^2+2xy
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2y+6x, partial Npartial x=6x+2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Resposta

A EDO é não-linear, não-separável e exata.

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