Sejam a, b in Z tais que mdc(a, b)=1. Mostre que:
m d c(a+b, a^2+b^2)=1 ou 2 .

Passo 1

O enunciado diz que a,binZ e gcd(a,b)=1. Queremos determinar o valor de
gcdl(a+b,;a^2+b^2r),
sabendo que o conteúdo principal aqui é usar propriedades de divisor comum e combinações lineares de inteiros.

Passo 2

Defina
d = gcdl(a+b,;a^2+b^2r)
Então, por definição,
d mid (a+b) e d mid (a^2+b^2)
Logo d também divide qualquer combinação inteira dessas quantidades. Em particular, observe que
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Longrightarrow (a+b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab
Como d divide ambos os termos do lado esquerdo, temos
d mid 2ab

Passo 3

Como gcd(a,b)=1, vale
gcd(a+b,a)=gcd(a,b)=1 e gcd(a+b,b)=1
Isto implica
gcdl(a+b,;abr)=1
Então
gcdl(a+b,;2abr) = gcdl(a+b,;2r),
pois qualquer divisor comum a a+b e a ab só pode ser 1, e restaria apenas o fator 2.

Passo 4

Até agora sabemos que
d mid (a+b) e d mid 2ab Longrightarrow d mid gcdl(a+b,,2abr) = gcdl(a+b,,2r)
Mas gcd(a+b,2) só pode ser 1 ou 2. Portanto
din1,2

Resposta

gcdl(a+b,;a^2+b^2r)=1ou2

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