Sejam a um inteiro, n um inteiro positivo e d=m d c(a, a+n). Prove que d mid n.

Passo 1

Temos um inteiro a, um inteiro positivo n e definimos d=mdc(a,a+n). Queremos provar que d divide n. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum.

Passo 2

Sabemos do teorema básico de números inteiros que, se d divide dois números x e y, então d divide qualquer combinação linear deles, ou seja, para quaisquer inteiros u,v vale dmid(ux+vy).

Passo 3

No nosso caso, como dmid a e dmid(a+n), podemos escolher a combinação linear com u=-1 e v=1. Assim,

Passo 4

-1cdot a ;+ 1cdot(a+n) = (a+n)-a = n

Passo 5

Logo, pelo fato de d dividir ambas as parcelas dessa combinação, concluímos que dmid n.

Resposta

dmid n

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