Sejam
um inteiro,
um inteiro positivo e
. Prove que
.
Passo 1
Temos um inteiro
, um inteiro positivo
e definimos
. Queremos provar que
divide
. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum.
Passo 2
Sabemos do teorema básico de números inteiros que, se
divide dois números
e
, então
divide qualquer combinação linear deles, ou seja, para quaisquer inteiros
vale
.
Passo 3
No nosso caso, como
e
, podemos escolher a combinação linear com
e
. Assim,
Passo 4
Passo 5
Logo, pelo fato de
dividir ambas as parcelas dessa combinação, concluímos que
.