Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a equação diferencial dada é
O enunciado pede: classificar essa EDO quanto à ordem e quanto à linearidade (ou seja, dizer sua ordem e se é linear ou não; se for linear, dizer também se é homogênea e se os coeficientes são constantes ou não).
Passo 2
O que é ordem de uma EDO e como identificar aqui.
Definição curta: a ordem de uma EDO é a maior ordem de derivada de
que aparece na equação.
Explicação prática: olhar os termos e achar o termo com a derivada de maior ordem. Na equação aparece o termo , que é a quarta derivada de
. Não há derivadas de ordem maior que 4. Portanto a ordem é
Explicação prática: olhar os termos e achar o termo com a derivada de maior ordem. Na equação aparece o termo
Comentário de prova: sempre verifique a presença explícita de
com
máximo; mesmo se o coeficiente for zero em algum ponto (isso não muda a ordem da equação como formulada).
Passo 3
O que significa ser linear ou não — definição e sinais que devemos procurar.
Definição curta: uma EDO é linear se a função incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui
) e somadas — isto é, não aparecem termos não-lineares como
,
,
,
, etc.
Forma padrão de uma EDO linear de ordem
:
onde cada
e
dependem só de
(não dependem de
nem de suas derivadas).
Sinais de não linearidade: produtos entre e suas derivadas ou funções não-lineares de
.
Sinais de não linearidade: produtos entre
Passo 4
Aplicando a definição ao caso concreto.
Escrevendo a equação dada de modo a identificar coeficientes:
Aqui os coeficientes na forma padrão são funções só de
:
e o termo do lado direito é
.
Observações que garantem linearidade:
- Não há termos como
, , etc. Os únicos usos de e suas derivadas aparecem multiplicados por funções de . - Logo a equação é linear.
Observações adicionais:
- Como o lado direito é
, a equação é homogênea (isto é, ). - Os coeficientes não são todos constantes:
e dependem de . Portanto são coeficientes não constantes (variáveis).
Passo 5
Resumo didático rápido para decorar (útil na prova):
- Ordem: olhar a maior derivada presente. Aqui
→ ordem . - Linearidade: verificar se cada
aparece apenas multiplicado por funções de e somado; se sim, é linear. Se aparecer produto entre e derivadas ou alguma função não linear de , é não linear. - Homogeneidade: se o lado direito for zero, é homogênea.
- Coeficientes constantes vs. variáveis: se os
forem constantes numéricas, diz-se coeficientes constantes; se dependem de , são não constantes.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear homogênea de coeficientes não constantes (coeficientes dependem de , por exemplo
e
).
Linearidade: linear homogênea de coeficientes não constantes (coeficientes dependem de