Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
e^{t} y^{(4)}-y^{\prime \prime}+t y=0

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a equação diferencial dada é
e^{t}y^{(4)}-y''+t\,y=0.
O enunciado pede: classificar essa EDO quanto à ordem e quanto à linearidade (ou seja, dizer sua ordem e se é linear ou não; se for linear, dizer também se é homogênea e se os coeficientes são constantes ou não).

Passo 2

O que é ordem de uma EDO e como identificar aqui.
Definição curta: a ordem de uma EDO é a maior ordem de derivada de y que aparece na equação.
Explicação prática: olhar os termos e achar o termo com a derivada de maior ordem. Na equação aparece o termo y^{(4)}, que é a quarta derivada de y. Não há derivadas de ordem maior que 4. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 4.
Comentário de prova: sempre verifique a presença explícita de y^{(n)} com n máximo; mesmo se o coeficiente for zero em algum ponto (isso não muda a ordem da equação como formulada).

Passo 3

O que significa ser linear ou não — definição e sinais que devemos procurar.
Definição curta: uma EDO é linear se a função incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui t) e somadas — isto é, não aparecem termos não-lineares como y^2, y\cdot y', \sin(y), (y'')^3, etc.
Forma padrão de uma EDO linear de ordem n:
a_n(t)\,y^{(n)}+a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)\,y'+a_0(t)\,y = g(t),
onde cada a_k(t) e g(t) dependem só de t (não dependem de y nem de suas derivadas).
Sinais de não linearidade: produtos entre y e suas derivadas ou funções não-lineares de y.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso concreto.
Escrevendo a equação dada de modo a identificar coeficientes:
e^{t}\,y^{(4)}+0\cdot y^{(3)}-1\cdot y''+0\cdot y'+t\cdot y = 0.
Aqui os coeficientes na forma padrão são funções só de t:
a_4(t)=e^{t},\qquad a_3(t)=0,\qquad a_2(t)=-1,\qquad a_1(t)=0,\qquad a_0(t)=t,
e o termo do lado direito é g(t)=0.
Observações que garantem linearidade:
  • Não há termos como y^2, y y', \sin(y) etc. Os únicos usos de y e suas derivadas aparecem multiplicados por funções de t.
  • Logo a equação é linear.
Observações adicionais:
  • Como o lado direito é 0, a equação é homogênea (isto é, g(t)=0).
  • Os coeficientes não são todos constantes: a_4(t)=e^{t} e a_0(t)=t dependem de t. Portanto são coeficientes não constantes (variáveis).

Passo 5

Resumo didático rápido para decorar (útil na prova):
  • Ordem: olhar a maior derivada presente. Aqui y^{(4)} → ordem 4.
  • Linearidade: verificar se cada y^{(k)} aparece apenas multiplicado por funções de t e somado; se sim, é linear. Se aparecer produto entre y e derivadas ou alguma função não linear de y, é não linear.
  • Homogeneidade: se o lado direito for zero, é homogênea.
  • Coeficientes constantes vs. variáveis: se os a_k forem constantes numéricas, diz-se coeficientes constantes; se dependem de t, são não constantes.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: linear homogênea de coeficientes não constantes (coeficientes dependem de t, por exemplo e^{t} e t).

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