Verifique se a função dada constitui solução para a EDO
\begin{aligned} & y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}+3 y=x \quad x \in \mathbb{R} \\\ & y(x)=e^{-x}+\frac{x}{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y^{(4)}+4y^{\prime\prime\prime}+3y = x,\qquad x\in\mathbb{R},
e a função candidata
y(x)=e^{-x}+\frac{x}{2}.
O que é pedido: verificar se essa função constitui uma solução da EDO, ou seja, se ao substituí‑la na equação a igualdade é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete do procedimento para verificar se uma função é solução de uma EDO:
  • Uma função y(x) é solução se, ao calcular as derivadas necessárias e substituir na expressão da equação, o lado esquerdo (LHS) coincide com o lado direito (RHS) para todo x do domínio.
  • Aqui precisaremos das derivadas até a quarta ordem: y',y'',y''',y^{(4)}.
    Também um lembrete rápido sobre derivadas usadas:
  • A derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da cadeia: \frac{d}{dx}e^{u}=u'e^{u} com u=-x, u'=-1).
  • A derivada de \dfrac{x}{2} é \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular y'(x). Aplicando as regras acima:
y(x)=e^{-x}+\frac{x}{2}
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{x}{2}\bigg) = -e^{-x}+\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular y''(x). Derivando y'(x):
y'(x)=-e^{-x}+\frac{1}{2}
y''(x)=\frac{d}{dx}\big(-e^{-x}\big)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=e^{-x}+0=e^{-x}.

Passo 5

Calcular y^{\prime\prime\prime}(x). Derivando y''(x):
y''(x)=e^{-x}
y^{\prime\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=-e^{-x}.

Passo 6

Calcular y^{(4)}(x). Derivando y^{\prime\prime\prime}(x):
y^{\prime\prime\prime}(x)=-e^{-x}
y^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big(-e^{-x}\big)=e^{-x}.

Passo 7

Substituir as derivadas na combinação da EDO e simplificar passo a passo:
y^{(4)}+4y^{\prime\prime\prime}+3y = e^{-x}+4\big(-e^{-x}\big)+3\left(e^{-x}+\frac{x}{2}\right).
Primeiro combinar os termos com e^{-x}:
e^{-x}-4e^{-x}+3e^{-x}=(1-4+3)e^{-x}=0\cdot e^{-x}=0.
Portanto resta apenas o termo polinomial:
y^{(4)}+4y^{\prime\prime\prime}+3y = 3\cdot\frac{x}{2}=\frac{3x}{2}.
O lado direito da EDO é \,x. Para que a função seja solução devemos ter
\frac{3x}{2}=x\quad\text{para todo }x,
o que é equivalente a
\frac{3x}{2}-x=\frac{x}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Ou seja, a igualdade só ocorre no ponto x=0, não para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Interpretação final e comentário didático rápido: a parte exponencial e^{-x} cancelou na combinação linear do LHS, por isso não causa problema, mas o termo polinomial \dfrac{x}{2} gerou \dfrac{3x}{2} ao aplicar o operador linear D^4+4D^3+3, e esse resultado não é igual a x em geral. Logo a função dada não satisfaz a EDO para todos os x.

Resposta

Não. A função não é solução em \mathbb{R}; ao substituir obtém‑se y^{(4)}+4y'''+3y=\dfrac{3x}{2}, que coincide com x apenas para x=0.

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