Verifique se a função dada constitui solução para a EDO
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e a função candidata
O que é pedido: verificar se essa função constitui uma solução da EDO, ou seja, se ao substituí‑la na equação a igualdade é verdadeira para todo
.
Passo 2
Lembrete do procedimento para verificar se uma função é solução de uma EDO:
- Uma função
é solução se, ao calcular as derivadas necessárias e substituir na expressão da equação, o lado esquerdo (LHS) coincide com o lado direito (RHS) para todo do domínio. - Aqui precisaremos das derivadas até a quarta ordem:
.
Também um lembrete rápido sobre derivadas usadas: - A derivada de
é (regra da cadeia: com , ). - A derivada de
é .
Passo 3
Calcular
. Aplicando as regras acima:
Passo 4
Calcular
. Derivando
:
Passo 5
Calcular
. Derivando
:
Passo 6
Calcular
. Derivando
:
Passo 7
Substituir as derivadas na combinação da EDO e simplificar passo a passo:
Primeiro combinar os termos com
:
Portanto resta apenas o termo polinomial:
O lado direito da EDO é
. Para que a função seja solução devemos ter
o que é equivalente a
Ou seja, a igualdade só ocorre no ponto
, não para todo
.
Passo 8
Interpretação final e comentário didático rápido: a parte exponencial
cancelou na combinação linear do LHS, por isso não causa problema, mas o termo polinomial
gerou
ao aplicar o operador linear
, e esse resultado não é igual a
em geral. Logo a função dada não satisfaz a EDO para todos os
.
Resposta
Não. A função não é solução em
; ao substituir obtém‑se
, que coincide com
apenas para
.