Determine os valones de
para os quais a EDO abaixo possui solução da forma
para
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a função
(com
) seja solução da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A solução procurada tem a forma
. - A variável independente é
. - A EDO é
.
Passo 2
Ideia do método (explicação curta e por que funciona): quando se busca uma solução do tipo
para uma EDO em que os coeficientes são potências de
(como
), é comum testar
. Isso transforma a EDO numa equação algébrica para
(chamada equação característica ou indicial). Agora vamos calcular as derivadas de
passo a passo usando a regra da potência.
Cálculo das derivadas:
- A derivada de
em relação a é, pela regra da potência,
onde
é tratado como constante.
- A segunda derivada é
Passo 3
Substituir
,
e
na EDO. Colocar as expressões obtidas em
:
Agora simplificar cada termo:
e
. Então todos os termos têm fator
, que é positivo para
(logo podemos dividir por ele sem problemas):
Como
para
, a parte entre parênteses deve ser zero.
Passo 4
Formar a equação característica (a equação algébrica em
):
Desenvolvendo os produtos e coletando termos:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. Calcular o discriminante:
Como
, as raízes são
Portanto as soluções são
Passo 6
Interpretação final e observação prática: os valores
e
geram funções
e
que satisfazem a EDO (pode verificar substituindo de volta). Como as raízes são distintas,
e
são soluções linearmente independentes; qualquer combinação linear
(com constantes
) também é solução da EDO.