Determine os valones de r para os quais a EDO abaixo possui solução da forma y=t^{r} para t>0.
t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de r tais que a função y=t^{r} (com t>0) seja solução da equação diferencial
t^{2}y''-4ty'+4y=0.
Informações relevantes dadas:
  • A solução procurada tem a forma y=t^{r}.
  • A variável independente é t>0.
  • A EDO é t^{2}y''-4ty'+4y=0.

Passo 2

Ideia do método (explicação curta e por que funciona): quando se busca uma solução do tipo y=t^{r} para uma EDO em que os coeficientes são potências de t (como t^{2},t), é comum testar y=t^{r}. Isso transforma a EDO numa equação algébrica para r (chamada equação característica ou indicial). Agora vamos calcular as derivadas de y=t^{r} passo a passo usando a regra da potência.
Cálculo das derivadas:
  • A derivada de t^{r} em relação a t é, pela regra da potência,
y'=\frac{d}{dt}t^{r}=r\,t^{r-1},
onde r é tratado como constante.
  • A segunda derivada é
y''=\frac{d}{dt}\big(r\,t^{r-1}\big)=r\,(r-1)\,t^{r-2}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na EDO. Colocar as expressões obtidas em \;t^{2}y''-4ty'+4y=0\;:
t^{2}\big(r(r-1)t^{r-2}\big)-4t\big(r t^{r-1}\big)+4\big(t^{r}\big)=0.
Agora simplificar cada termo: t^{2}\cdot t^{r-2}=t^{r} e t\cdot t^{r-1}=t^{r}. Então todos os termos têm fator t^{r}, que é positivo para t>0 (logo podemos dividir por ele sem problemas):
\big(r(r-1)\big)t^{r}-4r\,t^{r}+4t^{r}=0 \quad\Rightarrow\quad \big(r(r-1)-4r+4\big)t^{r}=0.
Como t^{r}\neq0 para t>0, a parte entre parênteses deve ser zero.

Passo 4

Formar a equação característica (a equação algébrica em r):
r(r-1)-4r+4=0.
Desenvolvendo os produtos e coletando termos:
r^{2}-r-4r+4=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-5r+4=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática r^{2}-5r+4=0. Calcular o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9.
Como \Delta=9, as raízes são
r=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{5\pm3}{2}.
Portanto as soluções são
r=\frac{5+3}{2}=4 \quad\text{e}\quad r=\frac{5-3}{2}=1.

Passo 6

Interpretação final e observação prática: os valores r=1 e r=4 geram funções y=t^{1}=t e y=t^{4} que satisfazem a EDO (pode verificar substituindo de volta). Como as raízes são distintas, t e t^{4} são soluções linearmente independentes; qualquer combinação linear C_{1}t+C_{2}t^{4} (com constantes C_{1},C_{2}) também é solução da EDO.

Resposta

r=1
r=4

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